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第二单元 医学统计学（高级篇） 第八章 多重线性回归 第一节 多重线性回归分析的概念 一、多重线性回归的概念 多重线性回归是研究多个自变量（x1\x2..）与一个因变量(y) 之间线性依存关系的方法。其中自变量可以是随机变量，也可 以是给定变量，而因变量是随机变量。 多元线性回归是研究多个自变量与多个因变量线性依存关系 的方法。 若所有变量都是随机的，还可以做多重相关分析，描述因变 量与一组自变量之间的线性关系；用偏相关描述因变量与一个 自变量之间，在扣除其他自变量影响之后的线性关系。 二、多重线性回归模型与方程 多重线性回归模型用于研究一个被解释变量（因变量）与 多个解释变量（自变量）的线性关系分析。多重线性回归模 型与一元线性回归模型基本类似，只不过解释变量由一个增 加到两个以上，被解释变量y与多个解释变量x1,x2···xk之间 存在线性关系。 假定被解释变量y与多个解释变量x1,x2···xm之间具有线性 关系，建立多重线性回归模型为： 其中y为被解释变量，xi为k个解释变量，βi为偏回归系数， 表示在其他自变量固定的条件下，自变量Xi改变一个单位时， 因变量Y的平均改变量。ε为随机误差项。 三、回归模型的前提条件 多重线性回归方程：描述被解释变量y的期望值或平均值如何依赖于解释变量x的方程为： 回归模型的前提条件： 1）线性：是指反应变量Y的总体平均值与自变量X呈线性关系； 2）独立性：自变量间相互独立，自变量之间没有精确的线性关 系（不相关）； 3）正态性：是指对于给定的X值，其对应的Y值的总体和线性模 型的误差项ε均服从正态分布；（ε服从均数为0的正态分布） 4）等方差性：无论X如何取值，Y都有相同的方差；误差项的方 差相等。 第二节 多重线性回归分析步骤 一、参数估计： 根据样本数据，求得模型参数的估计值，即求出模型β的估 计值b0、bm后，建立回归方程。 多重回归采用最小二乘法估计其参数，即求出 与实际观察 值Y之差的平方和（残差平方和） 为最小的b0、b1、b2、 bm值。多重回归的参数估计和假设检验，常采用统计软件完成。 求出参数的估计值后，可建立方程。 例8-1 下表是27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三酯、空 腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值，试建立血糖与 其它几项指标关系的多重线性回归方程。 27名糖尿病人血糖与其它变量的测量值 27名糖尿病人血糖与其它变量的测量值 二、建立方程 经统计软件处理后，得各参数如下： 得回归方程为： 三、多重回归分析的假设检验及评价 （一）回归方程（模型）的假设检验：检验模型是否成立，或 方程是否有意义。 方差分析法 多重线性回归方差分析表 以上结果显示：接受H1，回归方程成立。（相关公式） （二）有关评价指标 1.残差标准差(剩余标准差)SY,1,2, …M：为扣除m个自 变量影响外，因变量仍存在的变异，不能用自变量 的变化解释Y的变异。反映回归方程精度，值越小说 明回归效果越好。 2.决定系数R2: R2:说明所有自变量能解释Y变化的百分比。取值范围(0,1),越 接近1，模型拟合效果越好。R2反映在Y的总变异中，自变量组 合解释部分，占总变异的比重，即线性回归模型能在多大程度 上解释应变量Y的变异性。 自变量对应变量贡献越大， 回归效果越好。 SY,1,2, …M与R2 3.校正决定系数RC2(Radj2)=0.5282 R2与RC2关系： R2表示总变差中已由多元回归方程“解释”的比例，R2可解释模型的拟合优度，残差平方和越小，决定系数越接近1，回归方程的拟合程度越好。 RC2当给模型增加自变量时，决定系数也随之逐步增大，然而决定系数的增大代价是自由度的减少。自由度小意味着估计和预测的可靠性低。为了克服样本决定系数的这一缺点，我们设法把R2给予适当的修正，这就是校正决定系数。 R2或RC2只能说明在给定的样本条件下回归方程与样本观测值拟合优度，并不能做出对总体模型的推测，因此不能单凭它们来选择模型。 4.复相关系数R R说明所有自变量与Y间的线性相关程度,而不反应相 关的方向。取值范围（0，1），R越接近1，说明所有 自变量与应变量Y间的关系越密切。 如果只有一个自变量，此时的R=∣r∣。 （r为pearson相关系数） （三）偏回归系数的假设检验及评价 偏回归系数的假设检验（即各自变量贡献大小的检验）， 有三种方法。 1.t检验法： t检验显示：胰岛素x3、糖化血红蛋白x4与血糖y有线性回归关系。 t检验显示：胰岛素x3、糖化血红蛋白x4与血糖y有线性回归关系。 机读显示相同结果。 2.方差分析法（求x的偏回归平方和） 机读显