离散数学关系的性质.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 4.3 关系的性质 自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性 *  自反 反自反 对称 反对称 传递 定义 ?x∈A,有x,x?R), ?x∈A,有x,x?R, 若 x,y∈R有y,x∈R), 若x,y∈R且x ? y ,则y,x ?R 若x,y∈R y,z∈R，则x,z∈R), 表达式 IA?R R∩IA=? R=R?1 R∩R?1? IA R?R?R 关系 矩阵 主对角线元素 全是1 主对角线元素全是0 矩阵是对称矩阵 若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0 对M2中1所在位置, M中相应位置都是1 关系图 每个顶点都有 环 每个顶点都没有环 如果两个顶点之间有边, 是一对方向相反的边(无单边) 如果两点之间有边, 是一条有向边(无双向边) 如果顶点 xi 连通到xk , 则从 xi到 xk 有边 * 自反性与反自反性 例： 自反关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA 小于等于关系LA, 整除关系DA 反自反关系：实数集上的小于关系 幂集上的真包含关系 * 实例 例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中R1＝{1,1,2,2}R2＝{1,1,2,2,3,3,1,2}R3＝{1,3} R2自反, R3反自反, R1既不是自反也不是反自反的 * 对称性与反对称性 实例： 对称关系：A上的全域关系EA, 恒等关系IA和空关系? 反对称关系：恒等关系IA，空关系是A上的反对称关系.  * 实例 例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系, 其中 R1＝{1,1,2,2}， R2＝{1,1,1,2,2,1} R3＝{1,2,1,3}， R4＝{1,2,2,1,1,3} R1 对称、反对称. R2 对称，不反对称. R3 反对称，不对称. R4 不对称、也不反对称. * 传递性 实例： A上的全域关系EA,恒等关系IA和空关系? 小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系， 真包含关系 * 实例 例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中 R1＝{1,1,2,2} R2＝{1,2,2,3} R3＝{1,3} R1 和 R3 是A上的传递关系 R2不是A上的传递关系 * 关系性质的充要条件 设R为A上的关系, 则 (1) R在A上自反当且仅当 IA ?R (2) R在A上反自反当且仅当 R∩IA=? (3) R在A上对称当且仅当 R=R?1 (4) R在A上反对称当且仅当 R∩R?1?IA (5) R在A上传递当且仅当 R?R?R  * 实例 例.判断下图中关系的性质, 并说明理由. (2)反自反，不是自反的；反对称，不是对称的； 是传递的. (1)不自反也不反自反；对称, 不反对称；不传递. (3)自反，不反自反；反对称，不是对称；不传递. * 自反性证明 证明模式 证明R在A上自反 任取x, x?A ? ……………..….……. ? x,x?R 前提 推理过程 结论 例4 证明若 IA ?R ，则 R在A上自反. 证 任取x, x?A ? x,x ?IA ? x,x?R 因此 R 在 A 上是自反的. * 对称性证明 证明模式 证明R在A上对称 任取x, y x,y?R ?……………..….……. ? y,x?R 前提 推理过程 结论 例5 证明若 R=R?1 , 则R在A上对称. 证 任取x,y x,y?R ? y,x?R ?1 ? y, x ?R 因此 R 在 A 上是对称的. * 反对称性证明 证明模式 证明R在A上反对称 任取x, y x,y?R?y,x?R ? ………..………. ? x=y 前提 推理过程 结论 例6 证明若 R∩R?1?IA , 则R在A上反对称. 证