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任意四边形、 任意四边形、梯形与相似模型 模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型） 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①或者 ② 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？ 根据蝴蝶定理求得平方千米，公园四边形的面积是平方千米，所以人工湖的面积是平方千米 【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形的面积；⑵？ ⑴根据蝴蝶定理，，那么； ⑵根据蝴蝶定理，． (？？？) 四边形的对角线与交于点(如图所示)。如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍。 在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵， ∴， ∴． 解法二：作于，于． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6。求：⑴求的面积；⑵求的面积。 ⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为； ⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为， 根据蝴蝶定理，，所以， 那么． 图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个 在，中有，所以， 的面积比为。同理有，的面积比为。所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。 即=，所以有与的面积比为，=公顷，=公顷。 显然，最大的三角形的面积为21公顷。 (2008年清华附中入学测试题)如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为 。 连接、、。 则可根据格点面积公式，可以得到的面积为：，的面积为：，的面积为：． 所以，所以． 【巩固】如图，每个小方格的边长都是1，求三角形的面积。 因为，且∥，所以，，． (2007年人大附中考题)如图，边长为1的正方形中，，，求三角形的面积． 连接． 因为，，所以． 因为，根据蝴蝶定理，， 所以． 所以， 即三角形的面积是． 如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积． 连接，． 因为，，所以． 因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米． 如图，已知正方形的边长为10厘米，为中点，为中点，为中点，求三角形的面积． 设与的交点为，连接、． 由蝴蝶定理可知，而，， 所以，故． 由于为中点，所以，故，． 由蝴蝶定理可知，所以， 那么（平方厘米）． 如图，在中，已知、分别在边、上，与相交于,若、和的面积分别是3、2、1，则的面积是 ． 这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解． 根据蝴蝶定理得 设，根据共边定理我们可以得 ，，解得． (2009年迎春杯初赛六年级)正六边形的面积是2009平方厘米，分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米． 如图，设与的交点为，则图中空白部分由个与一样大小的三角形组成，只要求出了的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积． 连接、、． 设的面积为”“，则面积为”“，面积为”“，那么面积为的倍，为”“，梯形的面积为，的面积为”“，的面积为． 根据蝴蝶定理，，故，， 所以，即的面积为梯形面积的，故为六边形面积的，那么空白部分的面积为正六边形面积的，所以阴影部分面积为(平方厘米)． 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ① ②； ③的对应份数为． 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形