课时作业提升18利用导数研究函数的零点问题.docx

课时作业提升(十八)利用导数研究函数的零点问题 A组夯实基础 1. (201长春质检)已知函数.Ax)=x2+2r-3,曲)=邑严，且函数.心)与g(x)的图像在 x=\处的切线相同. ⑴求《的值； |/(x)|, xWl, . m ⑵令F(x)={ 若函数y=F(x)—m存在3个零点，求实数m的取值范围. g(x), xl, 解：⑴由 f(x)=x2+2x—3, 得f (x)=2x+2,则f (1)=4, 又/(1)=0,所以/(X)在x= 1处的切线方程为y=4x—4. k( [ — ]n x) 又因为和g(x)的图像在x=l处的切线相同，g‘ (x)= ,所以(l)=k=4? |x2+2x—3|, xWl, (2)由⑴可知 F(x)= 41nx .. ,兀1. X 4ln r 4—41n x 4 当xl时，F(x)=― , F (%)= 7—,可得函数F(x)在x=e处取得极大值7 A X C 当X趋于+ 8时，图像趋近于X轴.函数F(x)的大致图像如图所示，可知函数y=F(x) 一加存在3个零点时,加的取值范围是住,4) 2. (2018-西安模拟) 2. (2018-西安模拟)已知函数./(x)=x+ \+a —aln x. x 若函数y=Ax)的图像在x=\处的 切线与直线2x+y-\=O平行. 求Q的值； 若方程fix) = b的区间[1, e]上有两个不同的实数根，求实数b的取值范围. 解：(1) 解：(1)函数Xx)=a4 \+a X a\nx 的导数f (x)=l ?J=/(x)的图像在x=l处的切线斜率为k=f (1)=1—(1+a)—d=—2a, 由题意可得一2a=~29解得a=\ . 2 ⑵由⑴知 f(x)=x+--\n x9 （x）T_yx+罗 2） 当1VXV2吋，f (x)0, /(x)单调递减；当2VxVe时，f (x)0, f(x)单调递增. ???当x=2时，./(x)取得极小值_A2) = 3-ln 2. 2 又V/(l)=3, /(e)=e-l+-,即有/(D/(e), ???方程flx）=b在区间［1, e］上有两个不同的实数根,则有./（2）VbW/（e）, 2 即 3 —In 2V/?We— 1 +~ 故实数b的取值范围为（3 —In 2, e—1+~ . 3. （2018-r州调研）已知函数冷尸严r,其中加为常数. ⑴若对任意有/（x）N0恒成立，求加的取值范围； ⑵当加＞1时，判断/⑴在［0,2m］上零点的个数，并说明理由. 解：（1）依题意，可知f （兀）=严一1, 令.厂（x）=0,得 x=m. 故当 x丘（一°°,加）时，eY_/,,＜ 1, f （x）＜0, fix）单调递减； 当 xe（w, +8）时,ef （x）＞0, fix）单调递增. 故当x=m时，./（加）为极小值也是最小值. 令 /（〃2）= 1—加 2（）,得加 W1, 即对任意xWR , ./U）$0恒成立时， m的取值范围是（一00,］］. （2）/（x）在［0,2m］上有两个零点，理由如下： 当 rn＞ 1 时，/（加）=1—加＜0. V/（0）=e_w＞0, RO）呎加）V0,且心）在（（），加）上单调递减???\Ax）在（0,加）上有一个零点. 又 film）=ew—2m,令 g（ni）=ew—2m, 则 g‘ 伽）=尹一2,???当加＞1 时，g （w） = e,w-2＞0, ???g（加）在（1, +8）上单调递增. g（加）＞g（1）=e—2＞0,即 fl2m）＞0. ?；/（加）：/（2〃?）＜0, .*./（x）在（加,2加）上有一个零点. 故./（X）在［0,2m］上有两个零点. B组能力提升 （2018-江门模拟）设函数J{x）=e-ax, a是常数. （1）若。=1,且曲线y=f（x）的切线/经过坐标原点（0,0）,求该切线的方程； ⑵讨论沧）的零点的个数. 解：(l)a=l 时，/(x) = eA—x, f (x)=eA— 1, 设切点坐标是(加，『一〃?)， 则=广伽)=e‘一 1, 故切线方程是 y—(ew—w) = (e,w — 1 )(x—w), 由 0—(e‘一加)=(/一1)(0—加)，得加=1, 所求切线为y=(e—l)x. (2)厂(x) = ev-f/,当 a0 时，由f (x)=0 得 x=\naf g0 时，若 xln a,则广(x)0;若 xln a,则 f (x)0. 函数./(x)在区间(一8, Ina)单调递减，在区间(In 6/, +^)单调递增， /U)的最小值为 /(In a)=a(l—\n a) (i )OVoVe 时,/(In a)=a(\ —In a)0, /(兀)无零点; a=e 时，/(lna)=a(l—lna)=O, /