掌握连续系统状态方程的离散化方法.pptVIP

* * 10.4 稳定性与Liyaponov方法 1、理解Liyaponov稳定性的定义； 10.4.1 Liyaponov关于稳定性的定义 1. 系统的平衡状态 设初始条件（t0,x0）的唯一解为： 称为从初始条件（t0, x0） 出发的运动轨迹（运动、状态轨线）。 的xe,称为系统的平衡状态。 2、掌握稳定性的判定方法。 要求： 满足 例 其平衡点为 结论： ① 非线性系统的平衡点可能不唯一，也可能无。 ② 任何一个平衡状态可以通过坐标平移至坐标原点xe =0处。 2. 关于稳定性的几个定义 定义 称为欧几里德范数即x与xe的距离。 1) Liyaponov意义下的稳定 称平衡状态xe为 Liyaponov意义下的稳定，简称稳定。 2) 渐近稳定 xe稳定且从初始状态出发的状态轨线收敛于xe。 3) 大范围渐近稳定 对所有的初始状态x0都渐近稳定。 4) 不稳定 由 s(δ )内出发的状态轨线至少有一根会越过s(ε) ，称xe不稳定 结论： ① x(t)有界， xe 稳定； ② x(t)有界且→0， xe 渐近稳定；  ③ x(t)无界， xe 不稳定； 10.4.2 Liyaponov 第一法 线性定常（时不变）系统的稳定判据 系统在平衡状态xe=0渐近稳定的充分必要条件是A的所有特征值全部具有负实部，为内部稳定性。 若系统对于有界输入，所引起的输出有界，则称系统为输出稳定。 输出稳定的充要条件是W(s)=C(SI-A)-1b的极点全部位于s的左半平面。 例1 判定系统 的状态稳定性和输出稳定性。 解：由 得 故系统平衡状态不是渐近稳定的。 由 s=-1位于s的左半平面，因而系统输出稳定。 结论：只有系统无零、极点对消且系统的特征值与其极点相同时，系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致。 10.4.3 Liaponov 第二法 基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。 适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。 定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数 ，亦称能量函数， 是标量函数。 1. V(x)的符号性质 正 定： 半正定： 负 定： 半负定： 不 定： V(x) 0 V(x) ) ≥ 0 V(x) 0 V(x) ≤ 0 V(x) 0 或 V(x) 0。 例 对于x=[x1 x2 x3]T, V(x) =x12+x22+x32 V(x) =(x1+x2 ) 2+x32 V(x) =x1 2+x22 2. 二次型标量函数 正定 半正定 半正定 ④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。 P为实对称阵，存在正交阵T，使当 时，有 称为二次标准型。 V(x)正定的充要条件是P的特征值均大于0。 P的符号性质： V(x)正定，P正定，记为P0; 3. 希尔维斯特判据 实对称阵P符号性质的充分必要条件是： ① 各主子行列式的值均大于0， P正定； ② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定； ③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定； V(x)负定，P负定，记为P0; V(x)半正定，P半正定，记为P ≥ 0; V(x)半负定，P半负定，记为P ≤ 0。 行列式的值为1，逆阵和转置阵相等。 4. Liaponov稳定性判据 的平衡状态为xe=0,有V(x)满足： ① 对x有连续一阶偏导； ② V(x) 正定。 则 ① ② 为半负定，但对任意的x(t0) ≠0除x=0外的其它x ， 也渐近稳定； ③ 注意： ①不能说找不到Liaponov函数V(x)，就作出否定的结论。 例1 判定 设 为负定，则渐近稳定； 为正定，不稳定。 为半负定，则稳定。 不恒为0， 更进一步，|| x ||→∞ ，有V(x) →∞，则为大范围渐近稳定。 的稳定性。 ②平衡状态必须是坐标原点即 xe=0，否则须坐标平移。 解： xe =0 设 ,易知其正定，则 故系统渐近稳定。 且当 || x ||→∞时 ， 有V(x) →∞， 所以为大范围渐近稳定。 例2 判定 的稳定性。 解： xe =0 设 易知其正定，则 半负定。 负定， 若 ，必有x2=0, 由于 ，因此必然x1=0 ， 只在平衡点才为0，其余不为0， 故系统是渐近稳定的。 亦即 且当 || x ||→∞时 ， 有V(x) →∞， 所以为大范围渐近稳定。 例3 确定 平衡状态大范围渐近稳定的条件。 解：由 设 ,易知其正定，则 故系统平衡状态渐近稳定。 且当 || x ||→∞ 时， 有V(x) →∞， 所以该系统大范围渐近稳定，条件是a0 。 当a0时半负定。