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第三章 谐振腔和高斯光束 §3.1 谐振腔的结构和稳定条件 谐振腔的结构 通常用结构参数来描述谐振腔。设谐振腔两个反射镜的曲率半径分别为R1和R2，镜面间隔为d，则结构参数定义为 腔的稳定性、振荡模式、模体积、发散角、调整精度和损耗大小等都是衡量谐振腔质量的指标，它们又是互相制约的，实际应用中需根据具体要求选取不同的腔体结构。 不同的腔有不同的结构参数 谐振腔的稳定条件 谐振腔的稳定性是衡量谐振腔的特性的首要因素。特别是对于增益系数较小的介质，总希望光束能在腔内更多来回传播，以便获得足够大的增益。光束在腔内往返次数的多少又是由腔体结构决定的，对于图3.1-2中由两面凸面镜构成的腔体而言，光束在腔内很可能只经一次反射就逸出腔外了。 研究方法 周期性透镜序列 一个曲率半径为R 的球面镜反射，光束偏离轴线的情况等同于光束经焦距f=R/2 薄透镜的折射。因此，光束在谐振腔内的往返传播可以等效为经过一透镜序列的传播，如图3.1-3所示。如果激光腔是稳定的，则光线经过相应的透镜序列后不会偏离透镜的孔径，亦即具有会聚性质；反之，如果光线经过相应的透镜序列具有发散性质，则光线终究会在某处逸出腔外，对应的激光腔就是不稳定的。 ABCD矩阵的定义 矩阵的性质 AD－BC＝1 入射处与出射处折射率相同 AD－BC＝n1/n2 ， 其中入射处折射率为n1，出射处折射率为n2。 求矩阵元 一般说来光线穿过任意光学元件后，其位移x和斜率? 的变换关系，可以由矩阵表示，那么相应的矩阵元为 光线在自由空间直线传播的光线矩阵（傍轴近似） 光线通过均匀介质 Reversed Transmission 反向传输矩阵 ABCD matrix of an optical system 在光学谐振腔内的一次往返矩阵 平行平面腔 n次往返的矩阵 一般双凹球面腔 一次往返矩阵 由此可得 对称球面腔（R1＝R2＝R）的往返矩阵 共焦腔（R1＝R2=d )的往返矩阵 n 次往返的矩阵 矩阵乘n次的Sylveester 公式 其中? 满足 cos ? =1/2(A+D) 腔的稳定条件要求[M]n的各矩阵元不全等于零的实数，因此cos?在[-1,1]才有意义，即须满足 －1?1/2(A+D)?1 时，腔才是稳定的。 将一般双凹球面腔中的矩阵元代入A和D代入上式，整理可得 亦有0?g1g2?1。这是腔的稳定性条件。 稳定腔0?g1g2?1。 非稳腔 g1g2?0 或 g1g2?1。 临界腔g1g2＝0，或 g1g2＝1。 多元件腔的稳定性 表示不包括腔 镜在内的单程传输矩阵。 多元件腔的结构参数为 稳定图 由稳定图得知，（1，1）、（-1，-1）、（0，0）是稳定图上的三个特殊点，分别对应于平行平面腔、对称共心腔和共焦腔。 等价共焦腔及其作图求法 图3.3-8说明腔长为d、镜面分别用M1、M2表示的共振腔有唯一确定的高斯光束。在镜面上波阵面曲率半径最小，z=0的腰部位置离M1、M2的距离分别为d/2，在腔内外由a1、 a2、 a1‘、 a2‘等许多波阵面，它们的曲率半径都比M1、M2要大。 作图法求出任一腔体的等价共焦腔 Spherical wave 球面波 近轴波动方程 Paraxial wave equation Gaussian beam 高斯光束 高斯光束的参数 高斯光束的传播 The ABCD law of Gaussian beam Focusing of Gaussian beam 共焦腔的衍射理论 横模 一、 谐振腔内的衍射现象 衍射理论认为腔内模式是与腔内光束经过多次衍射后达到相对稳定的分布相对应的，即按照不同强度分布和频率特性来具体区分不同的模式，这是建立在惠更斯-菲涅耳原理基础上的理论，数学上主要归结为对腔内衍射场自洽积分方程的求解。 衍射损耗 共焦腔 自再现积分方程 由于共焦腔是对称腔体，根据自再生场分布的概念，Es’(x’,y’)和Es(x,y)具有相同的函数形式，满足 根据惠更斯原理，S面上某一点P(x,y)的场强E(x,y)可看成是以S`面上各点P’(x`,y’)为子波源所发出的球面波的叠加，如图3.2-3。数学上由菲涅耳-克希霍夫（Fresnel-Kirchoff）方程来表示： 这里，dS’=dx`dy`为P`(x`,y`)处的面积元；Es’(x’,y’)为S`面上P`(x`,y`)处的场强；?为P(x,y)点到P’(x’,y’