第四章中值定理与导数应用.pdf

第四章 中值定理与导数的应用 在上一章中，我们讲了导数和微分的概念以及它们的计算方法.本章中我们首先介绍微分学 的基本定理--中值定理，然后介绍导数的应用，即利用导数计算未定式极限，利用导数研究函数 的特性与其图形的某些形态等. 本章重点是微分中值定理，罗必达法则，导数在研究函数单调性、极值、凹向、拐点及在经 济管理中求最大 （小）值等问题的应用. 第一节 中值定理 一、 罗尔定理 如果函数 f(x)满足条件： 1）在闭区间[a,b]上连续； 2）在开区间（a,b）内可导； 3）在区间两个端点的函数值相等，即 f(a) f(b), 则在区间 （a,b）内至少存在一点ξ，使 得 f′(ξ)=0. 我们先看看这个定理的几何意义，然后再证明这个定理. 罗尔定理的几何意义是： 一条两个端点的纵坐标相等的连续光滑曲线弧 上至少有一点 C （ξ，f(ξ)），曲线在C 点的切线平行于 x 轴（见图一）. (图一) 证:  因为由条件 （1），函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，所以根据闭区间上连续函数的性质， 在[a,b]上 必定存在最大值 M和最小值 m.  下面分两种情况证明.  （1）如果 M m，则在[a,b]上 恒等于常数 M （或m），即f(x) M m，于是在（a,b） 内的任一点x 都有  f′(x) 0,即 （a,b）内的每一点都可作为 ξ（见图二）， 1  (图二)  此时定理成立。 （2）如果 M≠m 因为f(a) f(b)，则 M和 m 这两个数中至少有一个不等于端点的函数值.不 妨设 M≠f(a)，于是可以断定在(a,b)内至于有一点ξ，其函数值等于 M，即f(ξ) M.我们要证明  f′(ξ) 0.  由于f(ξ)为最大值，因此不论Δx 为正或为负，总有 ≤0  再由条件（2）知，在点ξ处 f′(ξ)必存在，即极限 存在，故由极限的性质 2可得 ≤0  （a） 当Δx＜0 时，同理可得 ≥0  （b） 由于 （a）式和（b）式都要成立，因此有 这就证明了罗尔定理.  注意：（1）罗尔定理的三个条件缺一不可，也就是说，缺少任何一个条件，定理的结论就 可能不成立，必须三个条件都满足时，才能保证定理的结论成立.  下面举例并结合图形具体说明。 例 1． 函数f(x)在 x 1处不连续 （见图三） 2  (图三)  因而它不满足条件 1），尽管条件 2）和3）都满足，但得不出定理的结论，即在（0，1）内找 不到ξ，使  .从图形上看，曲线上找不到一点 C，使过点C 的切线平行于x 轴，即曲线 没有水平切线.  例 2． 函数f(x)在 x 0处不可导 （见图四）  (图四)  因此它不满足条件 2），虽然满足条件 1）和 3），但定理结论不成立.从图形上看，显然没有水平 切线.  例 3．  (x) x,x∈[0,1]  函数f(x)满足条件 1）和2），但f(0)≠f(1)(见图五)  (图五)