高数第一章 映射与函数.ppt

3 函数的周期性 （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. 设函数 的定义域为 且 则称 为周期函数, 称为函数 的周期. 如果存在一个不为零的 数 使得对于任一 - * - M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 4．函数的有界性 - * - 四 反函数与复合函数 1 反函数 定义6 设函数 是一一映射,则其逆映射 称为函数 的反函数,记为 称函数 为直接函数. 由定义可知,若函数 存在反函数 则 (1) 对于 的任意两个数 定有 - * - (2) 与 互为反函数,且 (3) D D - * - 习惯上用字母 表示自变量, 表示因变量, 函数 的反函数经常表示成 例4 讨论函数 的反函数. 解 函数的定义域 值域 由于对于 有两个自变量值 都满足关系式 因此此函数不存在反函数. 但如果将函数的定义域限制在 则函数 的反函数为 的反函数为 - * - 例5 求函数 的反函数. 解 当 时, 得 当 时, 得 当 时, 得 - * - 2 反函数的图形 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. - * - 3 复合函数 定义7 同复合映射一样， 函数 可以构成复合函数 当且仅当 如果 时, 我们可以 通过改变 的定义域来构造复合函数. - * - 注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的; 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成. - * - 例6 解 - * - 综上所述 - * - 五 初等函数 (2)幂函数 1 基本初等函数 (1)常数函数 (其中 为已知常数). - * - (3)指数函数 - * - (4)对数函数 - * - (5)三角函数 正弦函数 - * - 第一节 映射与函数 第一章 函数 极限 连续 * 第一节 映射与函数 集合与映射 函数的概念 函数的几种特性 反函数与复合函数 初等函数 建立函数关系举例 - * - 一、集合与映射 1.集合 集合：具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 ? 如 且 中有不在 的元素， 的真子集，记为 则称 是 若 则必 就说 是 的子集， 记作 - * - 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定 空集为任何集合的子集. ----正整数集 如果 且 则称集合 和 相等， - * - 2.实数集 定义1 设 如果存在数 使得对一切 都有 则称 有上(下)界, 定义2 设 是一个非空数集,若存在一个上(下)界 使得对 的一切上(下)界 都有 则称 是 的上(下)确界, 定理1 任何一个非空的实数集 如果有上(下)界, 则必有上(下)确界. 如果数集 既有上界又有下界,则称 是有界的, 为 的 一个上(下)界. 称 是无界的. 否则称 记为 - * - 区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, - * - 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. - * - - * - 3.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 等表示常量, 用字母 等表示变量. - * - 4.映射 定义3 设 是两个非空集合,若对每个 按照某个确定的法则 有唯一确定的 与它对应, 则称 是 到 的一个映射,记作 或 其中 称为 在映射 下的像， 称为 在映射 下 的一个原像(或逆像), 称为映射 的定义域, 记为 或 所有元素 的像 的全体所构成的集 合称为 的值域,记为 或 即 - * - 映射的两个基本要素：定义域与对应法则 设 如果 则称 是一个满映射， 如果对 中的任意两个不同元素 有 则称 是一个单射， 如果一个映射既是满射，又是单射 则称 是个一一映射. 如果 是个一一映射，则对每个 有唯一的一 个 适合 规定 则 就是 到 上的一个映射，称为 的逆映射，记为 - * - 其定义域 值域 此时也 称 是可逆映射. 设 则对每个 对应唯一 的一个 从而对应唯一的一个 这样就确定了一个从集合 到集合 的映射, 这个映 射称为 和 所确定的复合映射,记为 即 任意两个映射 则 当且仅当 - * - 5.绝对值: 运算性质: 绝对值不等式: - * - 二、函数概念 例 圆内接正多边形的周长 圆内接正n 边形 O r ) 1 函数的定义 - * - 因变量 自变量 定义4 数集