概率论第二章33352.ppt

例2.37 已知X?N(?,?2),求 解 的概率密度 关于x严格单调，反函数为 故 例2.38 设X~U[0,1]，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0) 解 Y=ax+b关于x严格单调，反函数为 故 而 所以 例2.39 设Y=lnX~N(?,?2)，求对数正态分布的概率密度。 解 X=eY关于y严格单调递增，反函数为 故 而 所以 小结. 2、指数分布 设连续型随机变量X具有概率密度 则称X服从参数为?的指数分布。 其分布函数为 指数分布的另一种表示形式 其中?0为常数，则称X服从参数为?的指数分布 　相应的分布函数为： 分布函数 指数分布的期望与方差 x F( x) 0 1 指数分布的无记忆性 这一性质称为指数分布的无记忆性。事实上可以证明指数分布是唯一具有上述性质的连续型分布。（证明略） 指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。 由于指数分布具有缺乏“记忆”的特性．因而限制了它在机械可靠性研究中的应用，所谓缺乏“记忆”，是指某种产品或零件经过一段时间t0的工作后,仍然如同新的产品一样,不影响以后的工作寿命值，或者说，经过一段时间t0的工作之后，该产品的寿命分布与原来还未工作时的寿命分布相同，显然，指数分布的这种特性，与机械零件的疲劳、磨损、腐蚀、蠕变等损伤过程的实际情况是完全矛盾的，它违背了产品损伤累积和老化这一过程。所以，指数分布不能作为机械零件功能参数的分布形式。 但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。 例2.28 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布， (1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？ 例2.28 电子元件的寿命X(年)服从参数为3的指数分布， (1)求该电子元件寿命超过2年的概率； (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用2年的概率为多少？ 解 指数分布Forever Young 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。 3、正态分布 A B A，B间真实距离为?，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？ 其中?,?(?0)为常数，则称X服从参数为? ,?2的正态分布,记为X～N(?, ?2)。 1.若随机变量X的概率密度函数为 f(x)的图像为 正态分布密度函数的图形性质 x f (x) 0 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布密度函数的图形性质（续） 正态分布密度函数的图形性质（续） x f (x) 0 正态分布也称为高斯(Gauss)分布 正态分布随机变量X的分布函数为 其图像为 O μ x F(x) 1 2.标准正态分布(p60) 当参数?＝0，?2＝1时，称随机变量X服从标准正态分布，记作X~N(0, 1)。 分布函数表示为 其密度函数表示为 O x 1 Φ(x) 标准正态分布的密度函数与分布函数的图像分别为 可得 对于标准正态分布的分布函数Φ(x)的函数值，书后附有标准正态分布表(P.270)。表中给出了x0的函数值。当x0时，可利用Φ(-x)=1- Φ(x)计算得到。 例2.30 已知X~N(0, 1)，求P(-∞＜X≤-3)， P(|X|＜3) 解 P(-∞＜X≤-3)= Φ(-3) = 1-Φ(3) 标准正态分布表 P(|X|＜3)= P(-3＜X ＜ 3)= Φ(3) - Φ(-3) = Φ(3) -[1-Φ(3)] =2Φ(3)-1 =2×0.9987-1=0.9974 =1-0.9987=0.0013 一般地, X~N(0, 1), P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1 3.一般正态分布的计算 一般正态分布的计算（续） 定理2.6 当a0时，证明略。 正态分布的线性函数仍服从正态分布 例2.31 已知X~N(1, 4),求P(5＜X≤7.2), P(0＜X≤1.6) 解 标准正态分布表 例2.32 某种型号电池的寿命X近似正态分布N(u,?2),已知其寿命在250小时以上的概率