概率论与数理统计第14节全概及逆概公式.ppt

练习1 用X射线检查肺癌的可靠性有下列数据，肺癌患者通过检查被确诊的有98％，而未患肺癌者经检查有99%可正确诊断为未患肺癌，误诊率分别为2%及1%。在某人口密集的工业区，估计有3%的人患肺癌，现从该地区任选1人检查，试求： (1)若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率； (2)若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率 (3)解释以上结论的意义。 解：设A={此人确实患肺癌} B={此人被诊断为患肺癌} (1) 若此人被诊断为患肺癌，他确患此病的概率 (2) 若此人被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率 (3) 解释以上结论的意义: 对被查出患有肺癌，确实患有肺癌的概率是0.7520 则实际未患癌的可能性有近1/4。应不要太紧张，可作进一步检查。 对未被诊断为未患肺癌，他实患此病的概率0.0006, 则实际未患此病的概率是：0.9994，可以相信未患癌症的检查结果。 小结 例4 口袋中有3个白球、5个黑球，甲、乙 两人轮流从口袋中有返回地取一球，甲先取. 谁先取到白球为胜，求甲胜的概率. 全章小结 基本概念： 随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、频数、概率、古典概率，对立事件、互不相容时间、概率的加法定理、条件概率、概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、事件的独立性； 概率的3条基本性质： 非负性、规范性、可列可加性； 重要概率公式： 条件概率公式： P(B|A)=P(AB) / P(A); 乘法公式： P(AB)=P(B|A) P(A); 全概率公式、贝叶斯公式； (1) 由全概率公式得 (2) 由逆概率公式得 解 例3 由逆概率公式得所求概率为 解 例5 由逆概率公式得所求概率为 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率.（P39） 而在得到信息之后再重新加以修正的概率0.97 叫做后验概率.（P39） 先验概率与后验概率 后验概率 逆概率公式(Bayes公式) 先验概率与后验概率的关系 先验概率 解 例4 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 解 例6 由逆概率公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有i 件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格. 求 (1) 一批产品通过检验的概率； (2) 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率. 例7 设一批产品中有i 件次品为事件Ai , i = 0,1,…,4 B 为一批产品通过检验 由全概率公式与Bayes 公式可计算P( B )与 解 设一批产品中有i 件次品为事件Ai , i = 0,1,…,4 B 为一批产品通过检验 已知P( Ai )如表中所示， A0, A1, A2 , A3, A4是样本空间的一个分割． 且 i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652 1.0 0.9 0.809 0.727 0.652 0.123 0.221 0.397 0.179 0.080 （1） 一批产品通过检验的概率； （2） 通过检验的产品中恰有 i 件次品的概率. i 0 1 2 3 4 P( Ai ) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 每100件产品为一批, 已知每批产品中次品数不超过4件, 每批产品中有i 件次品的概率为 i 0 1 2 3 4 P 0.1 0