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第1章 现代光学的数学物理基础 Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction §1-1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示 §1-1光波场的复振幅描述亥姆霍兹（Helmholtz)方程 §1-1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示: 说明 §1-1光波场的复振幅描述2、球面波的复振幅表示 §1-1光波场的复振幅描述会聚球面波 §1-1光波场的复振幅描述球面波 : 空间分布 光波场的复振幅描述球面波 : 在给定平面的分布 光波场的复振幅描述球面波 : 近轴近似 §1-1光波场的复振幅描述二、球面波 : 近轴近似 光波场的复振幅描述3、 平面波的复振幅表示 光波场的复振幅描述3、 平面波的复振幅表示 光波场的复振幅描述3、平面波: 在给定平面的分布 光波场的复振幅描述4、平面波的空间频率 光波场的复振幅描述四、平面波的空间频率 光波场的复振幅描述平面波的空间频率: 一般情形 光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念 光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念 光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念 光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念 光波场的复振幅描述平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念 作业 P41: 3 * * 光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为: u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)] 振幅 频率 初位相 可见光: n ~1014Hz 严格单色光: n为常数 光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同 (2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起. 光场变化的空间周期为l. 光场变化的时间周期为1/ n. 由于u(P,t) 必须满足波动方程， 可以导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系 §1-1 光波场的复振幅描述1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程 光场随时间的变化e -j2pnt不重要: u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = ?e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } n ~1014Hz, 无法探测 n为常数,线性运算后亦不变 对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P): 为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表示,以利于简化运算 = ?e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 复数表示有利于将时空变量分开 U(P) = a(P) e jj(P) 则 u(P,t)= ?e{ U(P) e -j2pnt } 可导出复振幅满足的方程为： 将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程 -—不含时间的波动方程 称为波数或传播常数， 表示单位长度上产生的相位变化 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场。 U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关; U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) 方便运算, 满足叠加原理 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动: 光强分布: I = UU* 光强是波印廷矢量的时间平均值, 正比于电场振幅的平方 u(P,t)= ?e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 点光源或会聚中心 球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波 k = | k |=2p /l , 为波数. 表示由于波传播, 在单位长度上引起的位相变化, 也表明了光场变化的“空间频率” (P(x,y,z)) 0 z y x 源点S (r k 设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r, k: 传播矢量 球面波的等位相面: kr=c 为球面 则P点处的复振幅: j(P) = k . r k : 传播矢量 球面波: k//r a0: 单位距离处的光振幅 会聚球面波 (P(x,y,z)) 会聚点S (r 0 z y x k 距离 r 的表达 若球面波中心在原点: 若球面波中心在 S (x0, y0, z0): P点处的复振幅: 取决于k与r是平行还是反平行 以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播.所考察的平面垂直于z 轴 令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0