双曲线的切线全面版.doc

双曲线的切线（11） 不妨只考察P在原点、P在坐标轴正半轴上、P在第一象限内的情形． 当P在原点或P在区域Ⅰ时，不存在切线；当P在C1或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3(不含A、B)上时，有两条切线． 结论：①原点处无切线。 ②点在C3上时一条切线 ③当P在线段AB上时，Q在C1的右支上半支． ④当P在线段AB的延长线上时，Q在C1的左支下半支． ⑤若点P在区域Ⅰ内, 过P不存在切线． ⑥若点P在曲线C1上(异于点A), 切点即点P． ⑦若点P在曲线C2上(异于点B), 若P在线段OB上，Q在C1右支下半支． 若P在线段OB的延长线上， Q在C1右支上半支． ⑧若点P在区域Ⅱ内, Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支． ⑨若点P在区域Ⅲ内, Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧． ⑩若点P在区域Ⅳ内, Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支． ?若点P在区域Ⅴ内, Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支． x=a；C3与C2的交点为B(a，b)；C1的内部(含焦点的部分)为区域Ⅰ；C1与C2之间的部分，在C3左侧为区域Ⅱ，在C3右侧部分为区域Ⅲ；C2与y轴正半轴所夹的部分，在C3左侧为区域Ⅳ，在C3右侧为区域Ⅴ． 1 若P在原点 ∴ 直线x=0不是C1的切线． 设过P(0，0)的直线l的方程为y=kx，代入(1)消去y得(b2－a2k2)x2＝a2b2， 实根， ∴l与C1有两个交点． 故过P不存在C1的切线． 2 若过点P存在无斜率的切线 故点P在C3上时，C3为C1的一条切线，切点为A． 3 若过点P存在有斜率的切线 设切线斜率为k，则切线方程为 y－y0=k(x－x0) (2) 将(2)代入(1)消去y可得 (b2－a2k2)x2－2a2k(y0－kx0)x－a2[(y0－kx0)2＋b2]=0 (3) 方程(3)的判别式 3.1 若点P在C3上(异于点A) ∵x0=a， ∴一次方程f(k)=0的解为 C1的切线． ①当P在线段AB上时， ∵b＞y0，∴Qx＞0，Qy＞0， 故Q在C1的右支上半支． ②当P在线段AB的延长线上时， ∵b＜y0，∴Qx＜0，Qy＜0， 故Q在C1的左支下半支． 3.2 若点P不在C3上 此时x0≠a．二次方程f(k)=0有实根的充要条件是其判别式 3.2.1 若点P在区域Ⅰ内 ∴δ＜0．方程f(k)=0无实根，故过P不存在切线． 3.2.2 若点P在曲线C1上(异于点A) 注意到(5)式，切线方程可化为 切点即点P． 3.2.3 若点P在曲线C2上(异于点B) 为 过点P且斜率为k1的直线即C2，不是C1的切线．故C1仅有一条切线．将(7)代入(2)并注意到(6)，可得切线方程为 ∵x0＞0，∴Qx＞0， 故Q在C1的右支上． ①若P在线段OB上， ∵0＜y0＜b，∴Qy＜0， 故Q在C1右支下半支． ②若P在线段OB的延长线上， ∵y0＞b，∴Qy＞0， 故Q在C1右支上半支． 3.2.4 若点P在区域Ⅱ内 ∴δ＞0，方程f(k)=0有两相异实根，设为k1、k2，且k1＜k2，则 设相应于ki的切点为Qi(xi，yi)，i=1，2 将(10)代入(2)得 由(10)、(11)和(9)可推得 ∵0＜x0＜a，0＜y0＜b，由(8)和(12)知，x1x2＞0，y1y2＜0， ∴Q1、Q2在C1的同一支，且在x轴异侧． 由(9)知，k1k2＜0， 故Q1在C1右支下半支，Q2在C1右支上半支． ? 3.2.5 若点P在区域Ⅲ内 仿3.2.4的讨论可知，x1x2＞0，y1y ∴Q1、Q2位于C1同一支且在x轴同侧． 3.2.6 若点P在区域Ⅳ内 ∴δ＞0，f(k)=0有两相异实根． ∴Q1在C1的右支下半支，Q2在C1的左支下半支． 3.2.7 若点P在区域Ⅴ内 ∴Q1在C1左支下半支，Q2在C1的右支上半支． 综上所述：当P在原点或P在区域Ⅰ时，不存在切线；当P在C1或C2(不含原点)上时，仅一条切线；当P在区域Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ或在C3(不含A、B)上时，有两条切线． ∵PN为切线， ∴此关于λ的二次方程有两重根，故 此即两条切线的方程． 若P点位置非上述各情形，不难根据对称性，类似地给出相应的结论．