托勒密定理与西姆松定理.doc

§4托勒密定理与西姆松定理 托勒密(Ptolemy)定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)． EDCBA E D C B A 一、直接应用托勒密定理 例1、 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC． 分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗． 若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC． ∴PA=PB+PC． 二、完善图形 借助托勒密定理 例2 、证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2 证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD 是圆内接四边形．由托勒密定理有 AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ① 又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ② 把②代人①，得AC2=AB2＋BC2． 例3 、如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接圆于D，连结BD， 求证：AD·BC=BD(AB＋AC)． 证明：连结CD，依托勒密定理有 AD·BC＝AB·CD＋AC·BD． ∵∠1=∠2，∴ BD=CD． 故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)． 三、构造图形 借助托勒密定理 例4 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1． 证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB， 使AC＝a，BC=b， BD＝x，AD＝y． 由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的． 据托勒密定理有 AC·BD＋BC·AD=AB·CD． ∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1． 四、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理 例5、已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B． 分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰 梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c． 证明：如图，作△ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、 DA．∵AD=BC，∴∠ABD=∠BAC． 又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2． 　 依托勒密定理有 BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ① 而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2． ② ∴∠BAC=2∠ABC． 五、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理 例6 、在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4， 分析：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密 定理，进而构造圆内接四边形． 如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，连结AD、CD． 在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理有 AC·BD＋BC·AD=AB·CD 易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC， 练习1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。 则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 注： 例7、 例8、 例9、 例10、 作业： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。 求证：。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。求证：。 3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ， AD、BE、CF交成△LMN。求S△LMN。 4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、 △CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。 5．已知正七边形A1A2A3 6．△ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB 于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 7．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5） 8．O为△ABC