一个有趣的题目的分析与求解李进20101123一个朋友问起我一道.DOCVIP

一个有趣的题目的分析与求解 李进 2010.11.23 一个朋友问起我一道算术题，求解。题目大意是： 五个人在一岛上，有大量椰子，还有一只猴子。晚上，每个人依次将椰子等分成5份，总是余一个，将多的一个椰子给猴子，将五份中的一份藏起来，留下4份。第二天早上一起分椰子时，等分成5份，还是余一个，将多的一个椰子又给了猴子，问：最少有多少椰子？ 这题的求解过程比较繁琐，适合小学奥数。 为了简化分析过程，将此问题逆着想，设最后一次每人分到m个，每一步分配前的椰子数作为考察对象，记为Ai，i=6,5,4,3,2,1，椰子总数为Total。 step6 A6=5*m+1 step5 A5=(5*m+1)*5/4+1=5^2/4*m+9/4 step4 A4=(5^2*m+9/4)*5/4+1=5^3/4^2*m+5*9/4^2+1 step3 A3=(5^3/4^2*m+5*9/4^2+1) *5/4+1=5^4/4^3*m+5^2*9/4^3+9/4 step2 A2=(5^4/4^3*m+5^2*9/4^3+9/4) *5/4+1=5^5/4^4*m+5^3*9/4^4+5*9/4^2+1 step1 A1=(5^5/4^4*m+5^3*9/4^4+5*9/4^2+1) *5/4+1 =5^6/4^5*m+5^4*9/4^5+5^2*9/4^3+9/4 =(15625*m+11529)/1024 =Total 显然，A1为正整数。m与分母1024必有关系。 又知 15625*(-1)+11529=-4096=-4*1024 故 m=1024*k-1 其中k=1,2,3...... 当k=1时，m=1023，Total=15621为最小解。 可以求得椰子总数的表达式为 Total=(15625*(1024*k-1)+11529)/1024 其中k=1,2,3...... 其实，这类繁琐的求解过程，使用编程求解，就要方便得多。下面用MATLAB来编程求解该问题。MATLAB代码如下 N=1e5; %研究范围 count=0; %计数 for i=1:N T=i; %总数 for j=1:5 T=(T-1.0)*.8; %分配五次 end if (mod((T-1)/5,1)==0) last=(T-1)/5 %最后一次分配 count=count+1; %计数 Total=i end end count 在MATLAB中键入以上代码，回车后，输出为： last = 1023 Total = 15621 last = 2047 Total = 31246 last = 3071 Total = 46871 last = 4095 Total = 62496 last = 5119 Total = 78121 last = 6143 Total = 93746 count = 6 在1到100000中，有六个数是符合要求的，其中最小的数为15621，对应最后一次分配每人1023个。与上面的结果是一致的。编程求解，采用逆向思考，求解效率会高很多。由于只是纯数字运算，计算的时间代价很小。此处逆向思考的代码可以由给出的代码改动分配函数即可，此处略。 以上，算是完美解答了开头的问题。借助计算机，可以大大简化很多问题的解决。MATLAB也是一个强大的数学工具。 将以上问题抽象成数学符号，依然使用逆序，表示第i次分配时的椰子总数，n表示分配次数。分配规则不变，转变为分配n次，求最小的。即： 已知求n=6时，的最小值。给定n时，求min{m}和min{}。 解：推导的表达式： 为了保证为整数，m+1必须能整除，即得 m+1= m= = 为了得到最小的，必须有最小的m，故 当k=1时， min{m}=-1 （） min{}= 当n=6时，可以方便的求得 min{m}=1023 min{}=15621