切比雪夫不等式与大数定律.ppt

§3.8 切比雪夫不等式与大数定律 * * 重点： 1） chebyshev 不等式 2） 大数定律 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果 的稳定性的一系列定理统称为大数定律. 或 由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件{|X-E(X)| }的概率越大，即随机变量X 集中在期望附近的可能性越大. ，有不等式 则对于任意正数 方差 具有数学期望 设随机变量 定理1 e s m , ) ( , ) ( 2 = = X D X E X Chebyshev inequality 证 我们只就连续型随机变量的情况来证明. 当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于 的概率的估计式 . 如取 可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在， 则 r.v X取值偏离E(X)超过 3 的概率小于0.111 . 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频 率 生产过程中的 废品率 …… §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 [定理2] （切比雪夫定理） §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 设独立随机变量序列 的数学期望 与方差 并且方差 一致有上界， 即存在某一常数 使得 则对于任意的正数 有 证： 对随机变量 应用切比雪夫不等式得 §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 由此得 令 得到 §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 但概率不可能大于 故有 说明 切比雪夫定理说明（概率直观） 若独立随机变量序列 的数学期望 与方差存在， 且方差一致有上界， 收敛于其数学期望 §3.8 切比雪夫不等式与大数定律 则 随机变量 紧密地聚集在它的数学期望 附近. 的值将比较 即当 充分大时, 依概率收敛定义及性质 定义 请注意 : 问题 : 伯努利 设nA是n重贝努里试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率， 是事件A发生的频率. 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发 生的次数，p是事件A在每次试验中发生 的概率，则对于任意正数ε 0 ，有 定理3（贝努里大数定律） 伯努利 证明