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§1 集合的含义与表示
第一章
一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也想不明白集合的意义.于是,他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”集合是不加定义的概念,数学家很难回答那位渔民.
有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼在网中跳动.数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!”
问题1:数学家说的集合是指什么?
问题2:网中的“大鱼”能构成集合吗?
1.集合、元素
(1)集合定义
一般地,指定的________的全体称为集合.
(2)集合的记法
集合通常用________________________标记.
(3)元素
集合中的________叫作集合的元素.
某些对象
大写字母A,B,C,D,…
每个对象
2.元素与集合的关系
知识点
关系
概念
记法
读法
元素与
集合的
关系
属于
如果___________,就说a属于A
___
“a属于A”
不属于
如果____________,就说a不属于A
___
“a不属于A”
a在集合A中
a∈A
a不在集合A中
a∉A
3.常用数集及表示符号
定义
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
_____
_____
_____
_____
____
N
N+
Z
Q
R
4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合中的元素______________写在________内的方法.
(2)描述法
用确定的条件表示某些对象____________,并写在______内的方法.
一一列举出来
大括号
属于一个集合
大括号
5.集合的分类
∅
有限集
无限集
1.下列各组对象中不能构成集合的是( )
A.《成才之路》教育集团的全体员工
B.2014年全国经济百强县
C.2015年考入北京大学的全体学生
D.美国NBA的篮球明星
[答案] D
[解析] 根据集合元素的确定性来判断是否构成集合.因为选项A、B、C中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而选项D中所给对象不确定,原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA球员是否为篮球明星,所以不能构成集合.
2.已知集合A表示不等式3-3x0的解集,则有( )
A.3∈A B.1∈A
C.0∈A D.-1∉A
[答案] C
[解析] 3-3x0可化为x1,01,-11,所以0∈A,-1∈A.
3.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )
A.{x|x=1} B.{x|x2=1}
C.{1} D.{y|(y-1)2=0}
[答案] B
[解析] 选项A、C、D中集合的元素为1,而选项B中,集合中元素为±1,故选B.
4.用符号“∈”或“∉”填空.
(1)若A={x|x2=x},则-1________A;
(2)若B={x|x2+x-6=0},则3________B;
(3)若C={x∈N|1≤x≤10},则8________C,
9.1________C.
[答案] (1)∉ (2)∉ (3)∈ ∉
[解析] (1)∵A={x|x2=x}={0,1},∴-1∉A.
(2)∵B={x|x2+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3,2},∴3∉B.
(3)∵C={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},∴8∈C,9.1∉C.
5.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x=________.
[答案] -1
[解析] ∵x2∈A,∴x2=1,或x2=0,或x2=x.
∴x=±1,或x=0.
当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,
∴x=-1.
考察下列每组对象能否构成一个集合:
①美丽的小鸟;②不超过20的非负整数;③立方接近零的正数;④直角坐标系中,第一象限内的点.
[思路分析] 要判断每组对象能否构成集合,关键是分析各组对象所具有的条件是否明确.若明确,则能构成集合;否则不能构成集合.
集合的基本概念
[规范解答] ①中“美丽”的范畴太广,不具有明确性,因此不能构成集合;②中的对象可以列举出来:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,共21个数;③中接近0的界限不明确;④中的对象有无限个,但条件明确,即所有横、纵坐标均大于0的点都在该集合中.
综上可知②④能构成集合,①③不能构成集合.
[规律总结] 判断元素能否构成集合,关键看这些元素是否具有确定性和互异性.如果条件满足就可以断定这些元素可以构成集合,否则不能构成集合.
下列说法:
①地球周围的行星能构成一个集合;
②实数中不是有理数的所有数能构成一个集合;
③{1,2,3}与{1,3,2}是不同的集合.
其中正确的个数是( ).
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] B
[解析] ①是错误
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