高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教A版选修23.doc

2．3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标] 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接] 1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下： 甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 答　eq \o(x,\s\up6(－))甲＝eq \o(x,\s\up6(－))乙＝7，利用样本的方差公式 s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq \o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq \o(x,\s\up6(－)))2]，求得： seq \o\al(2,甲)＝2.2，seq \o\al(2,乙)＝1.2.seq \o\al(2,甲)seq \o\al(2,乙)， ∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛． 2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？ 答　样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引] 1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根eq \r(D（X）)为随机变量X的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)； (2)D(c)＝0(其中c为常数)． 3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)(其中p为成功概率)； (2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 要点一　求离散型随机变量的方差 例1　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(3,4). (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解　(1)P＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(13,18). (2)P(ξ＝0)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,9)； P(ξ＝1)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(7,18). P(ξ＝2)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2). 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P eq \f(1,9) eq \f(7,18) eq \f(1,2) E(ξ)＝0×eq \f(1,9)＋1×eq \f(7,18)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(25,18)， D(ξ)＝(0－eq \f(25,18))2×eq \f(1,9)＋(1－eq \f(25,18))2×eq \f(7,18)＋(2－eq \f(25,18))2×eq \f(1,2)＝eq \f(149,324)，∴eq \r(D（ξ）)＝eq \f(\r(149),18). 规律方法　1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤： eq \x(理解X的意义，写出X可能取的全部值) 　↓ eq \x(写出X取每个值的概率) 　↓ eq \x(写出X的分布列) 　↓ eq \x(由均值的定义求出E（X）) 　↓ 利用公式D(X)＝eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1)) (xi－E(X))2pi求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程． 跟踪演练1　已知X的分布列为 X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,3) eq \f(1,6) 求：(1)E(X)，D(X)； (2)设Y＝2X＋3，求