初中全等三角形辅助线的作法.doc

- PAGE 1 - 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 应用： 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC. B B A C D F 2 1 E 2.(1)如图1，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD． (2)如图2，AD是△ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF 求证：BE+CF＞EF． (3)如图3，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F． 求证：BE+CF＞EF． 二、截长补短 例1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 例2、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C. C C D B 例3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证AB=AD+BC的长． 变式1、如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，点E为AD中点，且BC=AB+CD，求证：CE平分∠BCD． 练习1、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 2、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分， 求证： 3、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 思考： 三、平移变换 例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞. 例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE. 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD 2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 应用： 1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； (第23题图)OPAMNEB (第23题图) O P A M N E B C D F A C E F B D 图① 图② 图③  五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 当绕点D转动时，求证DE=DF。 若AB=2，求四边形DECF的面积。 例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；  应用： 1、已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． 当绕点旋转到时（如图1），易证． 当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述