基本不等式求最值方法.docxVIP

基本不等式 知识点： 1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”） 5.若，则（当且仅当时取“=”） 注意： 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用：求最值解题技巧 例：求下列函数的值域：（1）y＝3x 2＋ eq \f(1,2x 2) （2）y＝x＋ eq \f(1,x) 技巧一：凑项 例 1. 已知，求函数的最大值。 变式：已知，求函数的最小值。 技巧二：凑系数 例2： 当时，求的最大值。 变式：设，求函数的最大值。 技巧三： 分离换元 例3：求的值域。 变式：当时,求的最小值. 技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。 例：求函数的值域。 技巧六：整体代换（“1”的应用） 例：已知，且，求的最小值。 变式：正数满足，求的最小值 设若的最小值为 技巧七例：已知x，y为正实数，且x 2＋ eq \f(y 2,2) ＝1，求x eq \r(1＋y 2) 的最大值. 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ eq \f(a 2＋b 2,2) 。 同时还应化简 eq \r(1＋y 2) 中y2前面的系数为 eq \f(1,2) ， x eq \r(1＋y 2) ＝x eq \r(2· eq \f(1＋y 2,2) ) ＝ eq \r(2) x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ，下面将x， eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) 分别看成两个因式： x· eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(x 2＋( eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) )2,2) ＝ eq \f(x 2＋ eq \f(y 2,2) ＋ eq \f(1,2) ,2) ＝ eq \f(3,4) 即x eq \r(1＋y 2) ＝ eq \r(2) ·x eq \r( eq \f(1,2) ＋ eq \f(y 2,2) ) ≤ eq \f(3,4) eq \r(2) 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ eq \f(1,ab) 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 技巧九、取平方 例: 求函数的最大值。 数列检测练习 1. 已知等差数列的前n项和为Sn，若等于??（ 　） A．18???? B．36????C．54???? ???????? D．72 2. 已知正项等比数列数列{an}，bn=log a an, 则数列{bn}是?????????? （ 　? ） A、等比数列 ???B、等差数列?? C、既是等差数列又是等比数列????D、以上都不对 3. 在等差数列{a}中，3（a+a）+2（a+a+a）=24，则此数列的前13项之和为? (? 　 )? A．156?????????B．13??????? C．12????????????? D．26 4.在等比数列中，已知，则等于（ ） A．16 B．6 C．12 D．4 5.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（ ） A、63 B、108 C、75 D、83 6．已知数列{an}的通项公式为an=且Sn=,则n的值为（ ） （A）98 （B）99 （C）100 （D）101 7.在正项等比数列{an}中，a21+a22+……a2n=,则a1+a2+…an的值为（ ） （A）2n （B）2n-1 （C）2n+1 （D）2n+1-2 8.已知首项为正数的等差数列满足: ,, 则使其前n项和成立的最大自然数n是（ ）. A