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2.3.1 平均数及其估计
1.进一步熟悉并掌握初中学过的众数、中位数.(重点)
2.理解为什么能用样本数据的平均值估计总体的水平.(难点)
3.掌握从实际问题中提取数据,利用样本数据计算其平均值,并对总体水平作出估计的方法.(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理1 众数、中位数
回顾以前所学“统计”的内容,并完成下列问题.
1.众数的定义
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数据的众数.
2.中位数的定义
中位数把一组数据按从小到大的顺序排列,把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数.当数据个数为奇数时,中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数.当数据个数为偶数时,中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数.
填空:
(1)数据5,7,6,1,2,3,2的中位数是________.
【解析】 数据的排列顺序为1,2,2,3,5,6,7,则中位数为3.
【答案】 3
(2)在数据3,4,5,0,7,4,1,0中众数是________,中位数是________.
【解析】 在上述数据中,0,4出现次数最多,故众数是0,4.把数据按从小到大的顺序排列为0,0,1,3,4,4,5,7,中间两个数为3,4,故中位数为3.5.
【答案】 0,4 3.5
教材整理2 平均数
阅读教材P65~P68“例3”以上的内容,并完成下列问题.
1.总体特征数的概念
在数学中,通常把能反映总体某种特征的量称为总体特征数.
2.平均数或平均值
(1)n个实数a1,a2,a3,…,an的和简记为eq \a\vs4\al(\i\su( i=1, n,a)i).
(2)平均数或均值的定义:
已知n个实数a1,a2,a3,…,an,则称eq \f(a1+a2+…+an,n)为这n个数据的平均数或均值.一般记为eq \x\to(a)=
eq \f(a1+a2+…+an,n).
(3)已知频率求平均数的方法
若取值为x1,x2,…,xn的频率分别为p1,p2,…,pn,则其平均数为x1p1+x2p2+…+xnpn.
判断正误.
(1)平均数反映的是样本数据的平均水平.( )
(2)一组数据的平均数一定是这组数据中的数.( )
(3)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
【解析】 (1)√.由平均数的定义可知正确.
(2)×.一组数据的平均数不一定是这组数据中的数.
(3)√.由定义知正确.
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
[小组合作型]
众数、中位数
(1)已知一组数据为-3,5,7,x,11,且这组数据的众数为5,那么数据的中位数是________.
(2)在如图2-3-1所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别是________,________.
图2-3-1
【精彩点拨】 (1)根据条件先求出x,然后按中位数的定义求解;
(2)由茎叶图得到两组数据,分别求中位数即可.
【自主解答】 (1)这组数据的众数为5,则5出现的次数最多,∴x=5,那么这组数据按从小到大排列为-3,5,5,7,11,则中位数为5.
(2)甲组数据为28,31,39,42,45,55,57,58,66,中位数为45.乙组数据为29,34,35,42,46,48,53,55,67,中位数为46.
【答案】 (1)5 (2)45 46
1.众数是一组数据中出现次数最多的数,一组数据的众数可能不止一个.
2.一组数据的中位数是唯一的.求中位数时,必须先将这组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数为奇数,则最中间的一个数是这组数的中位数;如果数据的个数为偶数,则最中间两个数的平均数是这组数据的中位数.
[再练一题]
一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19,x,23,27,28,31,其中位数为22,则x为________.
【解析】 由条件知中间两个数的平均数即为该组数据的中位数,所以eq \f(x+23,2)=22,解得x=21.
【答案】 21
平均数的计算及应用
某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下:
职务
董事长
副董事长
董事
总经理
经理
管理员
职员
人数
1
1
2
1
5
3
20
工资
5 500
5 000
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
(1)求该公司职工月工资的平均数;
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数又是什么(精确到元)?
(3)你认为平均数能否反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.
【精彩点拨】 eq \x(题目中的数据)→eq \x(算出平均数)→
eq \x(结合平均数的意义及影响因素)→eq \x(分析、得结论)
【自主解答
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