函数的奇偶性、周期性课件.pptVIP

第二章 函数 2.5 函数的奇偶性、周期性 第二课时 题型4 函数周期性的定义 1. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，则f(x)的周期是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 解：由已知，f(x+2)=-f(x)， 所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 显然，f(x)的周期为4，选C. 点评：由本题可知，若定义域为R的函数f(x)满足：f(x+a)=-f(x)(a0)，则f(x)是周期为2a的周期函数.相应地还有：若f(x+a)= 或f(x+a)=- ，则f(x)是周期为2a的周期函数. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足：对任意实数x都有f(x+2)+f(x)=0，且当x∈［0，1］时，f(x)=3x，则f( )的值为( ) A. 1 B. -1 C. D. – 解：由已知f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数. 又f(x)为奇函数，所以f( )=f( -16)=f(- )=-f( )=-1，故选B. 2. 定义在R上的函数f(x)满足：f(x)=f(4-x)且f(2-x)+f(x-2)=0. (1)证明:这个函数既是奇函数,又是周期函数； (2)若f(-3)=1，求f(2011)的值. 解：(1)证明：因为f(2-x)+f(x-2)=0， 令t=x-2代入,有f(-t)+f(t)=0，所以f(x)为奇函数. 所以f(4-x)=-f(x-4)，即有f(x)=-f(x-4)， 所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x)， 故f(x)是周期为8的周期函数. (2)f(2011)=f(251×8+3)=f(3)=-f(-3)=-1. 题型5 抽象函数奇偶性、周期性的判定与证明 点评：处理抽象函数的奇偶性和周期性的关键是对其抽象性质进行变形、配凑，如本题中观察到2-x与x-2是互为相反数，则可判断其奇偶性，然后利用奇偶性将f(4-x)变换为-f(x-4). 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x)的图象关于直线x=a (a≠0，为常数)对称，证明：f(x)是周期函数. 证明：由已知f(-x)=-f(x)，且f(a+x)=f(a-x)， 所以f(2a+x)=f［a+(a+x)］ =f［a-(a+x)］=f(-x)=-f(x)， 所以f(4a+x)=-f(2a+x)=f(x)， 所以f(x)是周期函数，且周期为4a. 拓展练习 3. 若y=f(2x)的图象关于直线 和 (ba)对称，则f(x)的一个周期为( ) A. B. 2(b-a) C. D. 4(b-a) 解：因为y=f(2x)关于直线 对称， 所以f(a+2x)=f(a-2x)， 所以f(2a-2x)=f[a+(a-2x)]=f[a-(a-2x)]=f(2x). 题型6 函数的对称与周期 同理，f(b+2x)=f(b-2x)，所以f(2b-2x)=f(2x). 所以f(2b-2a+2x)=f[2b-(2a-2x)]=f(2a-2x)=f(2x). 所以f(2x)的一个周期为2b-2a， 故知f(x)的一个周期为4(b-a).故选D. 点评：本题考查函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可.①若函数y=f(x)的