数值计算方式复习提纲.pptVIP

复习 第一章 绪论及误差估计 误差的来源、分类（★） 误差的估计（★） 绝对误差、绝对误差限 相对误差、相对误差限 有效数字 和、差、积、商的误差 数值计算（近似计算）的基本原则（★） 第2章 非线性方程求根 非线性方程求根的基本步骤（★） 判断根存在性 有根区间的隔离 根的精确化 二分法求根 基本原理 误差估计 简单迭代法 迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量 Newton迭代法 原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进 重根时的改进 避免求一阶导数的改进：弦截法 第3章 线性方程组求解 线性方程组的求解方法： （★） 直接法 迭代法 直接法：（各种方法的适用条件、手工计算） Guass顺序消元法 适用条件： 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵 顺序阶主子式为正 算法步骤（★ ★ ★ ） 列主元Gauss消元法（★） 选主元的必要性 算法的改进 Gauss-Jordan 消元法 思想、方法 Gauss-Jordan消元法的应用：求矩阵的逆矩阵 三角分解法 Doolittle分解（★） Crout分解（★） 追赶法 适用于：三对角方程组 实质：作Crout分解 改进平方根法 适用条件：对称正定矩阵 计算量减半 迭代法： 向量与矩阵的范数： （★） 向量范数：1-范数、2-范数、∞-范数 矩阵范数（算子范数）：1-范数、2-范数、∞-范数 矩阵的谱半径： ρ( A) ≤||A|| 若矩阵 A 对某个算子范数满足 ||A|| 1，则必有: I±A可逆、 矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1|| 迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （★） 充分条件： x=Bx+f， ||B||1 充要条件： x=Bx+f，B的谱半径 ? ( B ) 1 Jacobi迭代： 公式：x=Jx+f（其中： J=I-D-1A，f=D-1b） 收敛的条件： （★） 充要条件： ? ( J ) 1 充分条件：||J||1 Ax=b的系数矩阵A （非迭代矩阵 J ） ：严格对角占优 会手工计算（★） Guass-Seidel迭代法：Ax=b 迭代公式：x=Gx+f ,其中 G=(D-L)-1U，f= =(D-L)-1 b 收敛性判断： （★） 充要条件： ? ( G ) 1 充分条件：||G||1 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：严格对角占优 方程组Ax=b的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定 若方程组的Jacobi迭代收敛并且||J||q1，则该方程组的Gauss-Seidel迭代也收敛 能写出其迭代矩阵（★） 第4章 插值法 插值的基本概念： 插值条件、插值点 插值多项式 插值多项式的存在、唯一性： 故Ln(x)与Nn(x)等价 Lagrang插值多项式（★） 构造 余项 线性插值、抛物插值公式及其截断误差 Newton插值 差商及其性质： （★） 对称性 Newton插值公式的构造（★） 步骤 估算某点的近似值： Hermit插值 基本思想 插值多项式的构造方法 Lagrange型构造法（基函数构造法） Newton型构造法（重节点的差商） 了解高次插值会产生Runge现象，解决办法：分段低次插值（★） 了解三次样条插值的基本原理 第5章 最小二乘法与曲线拟合 最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★） 多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1） 对应的正规方程组：CTCa=CTy 解之即得(1）的最小二乘解 一般曲线拟合 利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会计算） （★） Ax=b的最小二乘解为：ATAx=ATb 第6章 数值积分 基本概念： 数值积分（机械求积公式）的一般形式 求积公式的代数精度（计算、证明） 插值型求积公式： 插值求积公式的构造方法（★） n+1积分结点的插值型求积公式至少具有n次代数精度 n+1个积分结点构造n阶Newton-Cotes积分公式，若n为偶数则具有n+1次代数精度 Newton-cotes公式的构造 重点掌握： 梯形公式 Simpson公式 复化积分 原理 复化梯形积分、复化Simpson积分（计算） Romberg积分公式 是外推公式，由复化梯形积分3次外推得到（★） Gauss积分： n个积分结点的Gauss求积公式可达 2n-1次代数精度（★） 重点例题、习题 第一章： 例：1-1、1-2、1-14、 习题：2、8、17 第二章： 例：2-3、2-5、2-15、 第三章： 例：3-29 习题：1，分别用高斯顺序消元法、列选主元高斯消元法、杜利特尔分解法、克劳特分解法、雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法求解 第四章 习题：16题、20题 第五章：