经济数学第1章1.5.pptVIP

* 1.5 函数的连续性 1.5.1 函数的连续性 1.函数的增量 定义1.13 设函数 在 点的某邻域内有定义，当自变量由 变到 ，称差 为自变量在 处的增量或改变量，通常用 表示，即 。相应地，函数值由 变到 称差 ， 为函数 在 处的增量或改变量，记作 ，即 可以是正值，也可以是负值，也可以为零 【说明】 和 2.连续的定义 由左图可以看出，函数 在点 处是连续的，且有 当 时，有 。 由右图可以看出，函数 在点 处是断开的，且有 当 时，有 。 观察下列函数图形，分析有何特征 结论：左图在 处是连续的， 右图在 处是间断的 定义1.14 设函数 在 点的某邻域内有定义，在 。相应地，函数 处给自变量以增量 的增量为 , 如果 ,则称函数 在点 处连续，点 称为函数 的连续点；否则就称函数 在点 点 处间断， 称为函数 的间断点。 令 ，那么 时， 也成立。于是 ；反之， 处连续的充要条件是 因此，函数 在点 例1.5.1 证明： 在点 处连续。 证明函数 因为 而 所以函数 在点 处连续。 ，则称函数 如果 在点 处左连续；如果 ，则称函数在点处右连续。 右连续。 由于 函数 在点 连续 的充要条件是函数 在点 既左连续又 函数 在点 连续必须同时满足三个条件： （1）函数 在点 有定义，即 是一个确定的数； （2）极限 存在，即左极限 与右极限 存在，且相等； 。 （3）极限值等于函数值，即 例1.5.2 解： 在 处的连续性。 讨论函数 在 处是连续的。 因为 ；又 于是有 ，所以 解： 例1.5.3 为何值时，函数 在 处的连续。 问 、 处连续，所以 所以 由于 在 ，因为 ； 又 【课堂练习一 】 处的连续性。 1．讨论下列函数在 处 （1） 在 （2） 处 在 为何值时，函数 问 、 2． 处连续 。 在 定义1.15 内每一点都连续，则称函数 如果函数 在区间 在区间 内连续；如果函数 在开区间 内连续， 又在左端点 处右连续，在右端点 处左连续，则称函数在闭区间 上连续。 定理1.6 3.初等函数的连续性 定理1.7 ， 如果函数 与 在点 处连续，则函数 与 在点 处都连续。 在点 处连续。 如果函数 在点 处连续，函数 处连续，且 ，则复合函数 在点 解： 可知：初等函数在其定义区间内都是连续的。 可以证明基本初等函数在其定义区间内均连续，根据定理1.6与1.7 例1.5.4 的间断点。 求函数 ，所以函数 的间断点为 由 解得 例1.5.5 解： 的连续区间。 求函数 因为函数的定义域为 ，所以函数 的连续区间为 解： 例1.5.6 求下列极限。 （1） （2） 处有极限，且函数 在点 如果函数 在点 处连续，且 ，则 （1） （2） 【课堂练习二 】 3．求极限 1．求函数 的间断点与连续区间。 2．求函数 的间断点与连续区间。