材料力学教材第七章(孙国钧)上交版.pdf

第七章 扭转 承受扭矩的细长杆件通常称为轴。许多机械通过轴来传递动力。汽车的发动机通过传 动轴的扭转将力矩传递给轮轴，轮轴经扭转将力矩传递给车轮，而车轮由地面摩擦阻力产 生的反力推动汽车前进。舰船的发动机通过推进轴的扭转将力矩传给螺旋桨，由于水的阻 力产生的反力使螺旋桨推动船舶前进。这一章将通过三个基本关系，推导圆轴截面上切应 力分布，以及切应力、扭转角与扭矩之间的关系。先从分析圆轴的扭转入手，再讨论矩形 截面和薄壁截面杆件的扭转问题。 § 7-1 圆轴扭转的应力和扭转率 我们先考虑圆轴受扭的情形，这一类杆件在动力机械的功率传递中起着重要的作用。 一、几何关系分析 图7 －1a 所示两端受力矩 T 作用的等直圆轴，由平衡条件可知，每个截面上传递的扭 矩都等于 T。从圆轴中取出长度为Δx 的AB 段和相邻的 BC 段（图 7 －1b，c ）。这两段圆轴 两端的受力情况相同，都受一对扭矩 T 作用。假定 B 端面在扭矩作用下表面凸出，由圆轴 的轴对称性可知端面应该是一个旋转凸曲面。假定o 为AB 段轴线的中点，oη与轴线垂直。 根据对 oη 轴的对称性，A 端面也应该是凸出的旋转曲面。相邻的 BC 段的情况也是一样。 这样 AB 段与相邻的 BC 段的几何相容性条件就被破坏了，因为一连串端面凸出的轴段不 T Δx Δx o (b) 180° T T A η B T A B C B C (a) T o (c) T 图7 －1 η 能形成连续的圆轴。所以可以断定，圆轴扭转变形后所有的横截面都保持为平面，并且垂 直于轴线。 我们还可以对扭转时截面所在平面内的变形作进一步的推断。由于圆轴的轴对称性， 每一半径在变形后的形状应该是一样的。如图 7 －2a所示，假定B端面上的半径oa变形后成 为曲线oa ′，那么所有的半径都应该有相同的形状。将AB 段圆轴绕 oη 轴旋转 180°，A 端面 150 上的半径o d变形后成为曲线o d’，应该与oa ′ 形状相同。然而，在相邻的BC段的B端面上， 1 1 变形应该与AB 段的A 端面相同（图 7 －2b ）。比较B截面两侧，可见B截面上的半径变形后的 几何相容性破坏了。因此可以断定，圆轴截面的径向直线，在扭转变形后仍然是直线。由 于轴对称的原因，截面上所有半径都旋转了同一个角度。综合起来讲，原来的圆形横截面 在扭转变形后仍然保持为平面且与轴线垂直，而且在其本身面内也没有扭曲，横截面只是 整体转动了一个微小的角度。这也就是材料力学教材中常用的关于圆轴扭转的平面截面假 设。 a′a T