向量共线定理解析.pptVIP

巩固练习:设D、E、F分别是 ABC的边BC、CA、AB上的点,且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC, CE=(1/4)CA.若记AB=m,CA=n.试用m,n表示 DE、EF、FD A B C ·D E· F· 思考: 问题2：如果 向量a与b共线 那么，b=λa ？ 问题1：如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ, 3.向量共线定理 反过来，已知向量a与b共线， a ≠ 0 ，且向量b的长度是向量a的λ倍，即| b |︰| a |= λ，那么当向量a与b同向时，有b =λ a ， 当向量a与b反向时，有b = - λ a . 也就是说：如果a与b共线，那么有且只有一个实数 ?，使b = ? a . 对于向量a （ a ≠ 0 ）、 b ，如果有一个实数?，使 b = ? a ，那么由实数与向量的积的定义知， a与b共线. 思考：若　　　　则结论如何？ 练习、已知向量 试判断 ， ， 是否共线。 A B D E C A B D E C ∴ 与 共线． 解： A B C O 例7:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的 中点，点N是BD上的一点， ， 求证M、N、C三点共线. A M B C D N 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b 所以M.N.C三点共线 一、①λa 的定义及运算律 ②向量共线定理 (a≠0) b=λa 向量a与b共线 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 练习1 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb 2=2λ λ =-1 k=-λ k =-1 ∴k=-1 ∴ 练习2: e1、e2不共线, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a与b是否共线。 解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。 练习3:设两非零向量a和b不共线， 如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），BC=2a+8b 求证：A、B、D三点共线。 例2:（2003 辽宁）已知四边形ABCD是菱形， P点在对角线AC上（不包括端点A、C）， 则AP等于 ( ) A、 B、 C、 D、 A 变形1:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 则P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 B 变形2:OA、OB不共线，AP=tAB，用OA、OB表示OP 所以： O A B P 因为OP=OA+AP =OA+tAB=OA+t(OB-OA) =(1-t)OA+tOB 思考:若上式成立,则A、B、P有什么关系?反之? 结论：已知OA、OB不共线，若P、A、B三点共线 则 则P、A、B三点共线. 若O是平面上任意一点,且 若O是平面上任意一点,且 其中, 则P、A、B三点共线 等价命题：OA、OB不共线，若P、A、B三点共线,则 其中 巩固练习:如图 OAB中,C为直线 AB上一点, AC=λCB(λ≠-1), A B O C 练习1 设a，b是两个不共线向量。 AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+k