数学归纳法典型例题.pptVIP

课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动 数学归纳法是用来证明某些与 有关的数学命题的 一种方法． 基本步骤： ①证明：当 时，命题成立； ②假设 时命题成立， 证明：当 时，命题成立． 根据①②可以断定命题对一切正整数n≥n0都成立． 　数学归纳法部分 1．数学归纳法 正整数 2．数学归纳法证明步骤 n＝n0 n＝k (k≥ n0) n＝k＋1 1.说明：归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．“观察——猜想——证明”是解答与正整数有关命题的有效途径． 利用数学归纳法证明的命题范围比较广泛，可以涵盖代数、三角恒等式、不等式、数列、几何问题、整除性问题等等，所涉及的题型主要有以下几个方面： (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和； (2)由一些恒等式、不等式改编的探究性问题，求使命题成立的参数的值或范围； (3)猜想并证明对正整数n都成立的一般性命题． 2.数学归纳法的主要应用 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题． (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 3．应用数学归纳法的注意事项 【例1】 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋ 1)＝n(n＋1)2(其中n∈N＋)． ． 题型一　恒等式问题 　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2， 那么，当n＝k＋1时， 1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立． 证明 用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项．难点在于寻找n＝k时和n＝k＋1时的等式的联系． 【例2】 几个半圆的圆心在同一条直线l上，这几个半圆每两个 都相交，且都在直线l的同侧，求证这些半圆被所有的交点 最多分成的圆弧段数为f(n)＝n2.(n≥2，n∈N＋)． 题型二　几何问题 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，这需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧． 题型三　不等式问题 【例4】 (12分)在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an， bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N＋)． 求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公 式，并证明你的结论． 归纳——猜想——证明是高考重点考查的内容之一， 此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问 题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探 索出一般规律． 题型四　“归纳、猜想、证明”问题 审题指导 课前探究学习 活页规范训练 课堂讲练互动