知识讲解_高考总复习：古典概型与几何概型(提高).docVIP

高考总复习：古典概型与几何概型 【考纲要求】 1、理解古典概型及其概率计算公式；了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率； 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义。 【知识网络】 随机事件的概率 随机事件的概率 古典概型 几何概型 应用 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A发生的概率为其所含个基本事件的概率之和，即。 所以古典概型计算事件A的概率计算公式为： 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数； （3）应用公式求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点二、几何概型 1. 定义： 事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件A的概率计算公式为： 其中表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，表示构成事件A的区域的几何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型 【例1】将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，求： （1）向上的点数一共有多少种不同的结果？ （2）点数之和是4的倍数的概率； （3）点数之和大于5小于10的概率. 【思路点拨】利用古典概型步骤进行求解： （1）算出基本事件的总个数； （2）计算事件A包含的基本事件的个数； （3）应用公式求值。 【解析】 （1）作图，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种. （2）记“点数之和是4的倍数”的事件为A， 从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个： （1，3），（2，2），（3，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（6，6）， 所以； （3）记“点数之和大于5小于10” 从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个， 即（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（1，6），（2，5），（3，4)，（4，3），（5，2）， （6，1），（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），（3，6），（4，5），（5，4），（6，3）， 所以. 【总结升华】 ①在解决古典概型问题时，首先应当分清楚计数的类型，要分清是排列还是组合，单一的还是混合的； ②若所求事件的基本事件个数不易求，很容易出现遗漏或重复，可借助有关图形，以便更准确地把握基本事件个数. 举一反三： 【变式】用数字1，2，3，4，5组成五位数，其中恰有4个相同数字的概率为 . 【答案】=. 【例2】连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件? 【思路点拨】利用古典概型解题步骤进行求解。 【解析】（1）这个试验的基本事件Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}； （2）基本事件的总数是8. （3）“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）. 【总结升华】一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件. 【例3】抛掷两颗骰子，求： （1）点数之和出现7点的概率； （2）出现两个4点的概率. 【思路点拨】根据条件列举出事件A所包含基本事件个数。 【解