上海高考数学(函数)经典压轴题解析详解.docVIP

学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 NUMPAGES 10 上海高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解 1. (本小题满分12分) 已知常数a 0, n为正整数，f n ( x ) = x n – ( x + a)n ( x 0 )是关于x的函数. (1) 判定函数f n ( x )的单调性，并证明你的结论. (2) 对任意n 3 a , 证明f `n + 1 ( n + 1 ) ( n + 1 )fn`(n) 解: (1) fn `( x ) = nx n – 1 – n ( x + a)n – 1 = n [x n – 1 – ( x + a)n – 1 ] , ∵a 0 , x 0, ∴ fn `( x ) 0 , ∴ f n ( x )在（0，+∞）单调递减. 4分 （2）由上知：当x a0时, fn ( x ) = xn – ( x + a)n是关于x的减函数, ∴ 当n 3 a时, 有：(n + 1 )n– ( n + 1 + a)n ? n n – ( n + a)n. 2分 又 ∴f `n + 1 (x ) = ( n + 1 ) [xn –( x+ a )n ] , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) [(n + 1 )n –( n + 1 + a )n ] ( n + 1 )[ nn – ( n + a)n] = ( n + 1 )[ nn – ( n + a )( n + a)n – 1 ] 2分 ( n + 1 )fn`(n) = ( n + 1 )n[n n – 1 – ( n + a)n – 1 ] = ( n + 1 )[n n – n( n + a)n – 1 ], 2分 ∵( n + a ) n , ∴f `n + 1 ( n + 1 ) ( n + 1 )fn`(n) . 2分 2. (本小题满分12分) 已知：y = f (x) 定义域为［–1，1］，且满足：f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v?[–1，1］，都有|f (u) – f (v) | ≤ | u –v | . (1) 判断函数p ( x ) = x2 – 1 是否满足题设条件？ (2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件？ 解： (1) 若u ,v ? [–1，1]， |p(u) – p (v)| = | u2 – v2 |=| (u + v )(u – v) |， 取u = ?[–1，1]，v = ?[–1，1], 则 |p (u) – p (v)| = | (u + v )(u – v) | = | u – v | | u – v |， 所以p( x)不满足题设条件. （2）分三种情况讨论： 10. 若u ,v ? [–1，0]，则|g(u) – g (v)| = |(1+u) – (1 + v)|=|u – v |，满足题设条件； 20. 若u ,v ? [0，1]， 则|g(u) – g(v)| = |(1 – u) – (1 – v)|= |v –u|，满足题设条件； 30. 若u?[–1，0]，v?[0，1]，则： |g (u) –g(v)|=|(1 – u) – (1 + v)| = | –u – v| = |v + u | ≤| v – u| = | u –v|，满足题设条件; 40 若u?[0，1]，v?[–1，0], 同理可证满足题设条件. 综合上述得g(x)满足条件. 3. (本小题满分14分) 已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). (1) 求证：| ac | ? 4; (2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) 1. 证：(1) ∵ t?R, t ? –1, ∴ ⊿ = (–c2a)2 – 16c2 = c4a2 – 16c2 ? 0 ， ∵ c ? 0, ∴c2a2 ? 16 , ∴| ac | ? 4. (2) 由 f ( x ) = 1 – , 法1. 设–1 x1 x2, 则f (x2) – f ( x1) = 1– –1 + = . ∵ –1 x1 x2, ∴ x1 – x2 0, x