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指数函数及其性质知识点及例题解析 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0a1时图象 a1时图象 图象 性质 ①定义域R，值域 （0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x0时，ax1 x0时，0ax1 ⑤x0时，0ax1 x0时，ax1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。 （2）当时，；当时。 当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快。 当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快。 （3）指数函数与的图象关于轴对称。 类型一、指数函数的概念 例1、函数是指数函数，求的值． 【解析】由是指数函数，可得解得，所以． 关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量． 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？ ；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）．【答案】（1）（5）（6） 类型二、函数的定义域、值域 求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)； 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1). ∵ ，又∵ 3x0， 1+3x1， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴值域为(0，1). 定义域为R，，∵ 2x0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[). 要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数， 所以，即，即，值域是. 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【答案】（1）R；（2）；（3）；（4）a1时，；0a1时， 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3、讨论函数的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于x∈R，恒成立，因此可以通过作商讨论函数的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 解：∵函数的下义域为R，令u=x2－2x，则． ∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，在其定义域内是减函数，∴函数在（－∞，1]内为增函数． 又在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数在[1，+∞）上是减函数． 【总结升华】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些， 一般地有：即当a＞1时，的单调性与的单调性相同； 当0＜a＜1时，的单调与的单调性相反． 【变式1】求函数的单调区间及值域. 【答案】上单增，在上单减. 类型四、指数函数的图象问题 例4、如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数的图象，而，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】 【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y轴的右边“底大图高”，在y轴的左边“底大图低”． 【变式1】为了得到函数的图象，可以把函数的图象(　　) A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【解析】注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断． 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 类型五、判断下列各数的大小关系 (1)1.8a与1.8a+1； (2)； (3)22.5，(2.5)0， ； (4) 【解析】(1)因为底数1.81，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为aa+1，所以1.8a1.8a+1. (2)因为，又是减函数，所以，即． (3)因为，，所以 (4)当a1时，，当0a1时，． 【总结升华】 (1)注意利用单调性解题的规范书写； (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性)； (3)不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 【变式1】比较大小：(1)3.53与3.23；(2)0.9-0.3与1.1-0.1；(3)0.90.3与0.70.4 (4). 【答案】(1)3.53＞3.23.(