数一真题试题答案.docVIP

2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～10小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． (1)当时,与等价的无穷小量是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (B). (2) 曲线渐近线的条数为( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (D). (3)如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间上的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (C). (4)设函数在处连续,则下列命题错误的是( ) (A) 若存在,则. (B) 若存在,则. (C) 若存在,则存在. (D) 若存在,则存在. 答案： (D). (5)设函数在上具有二阶导数,且,令 ,则下列结论正确的是( ) (A) 若,则必收敛. (B) 若,则必发散. (C) 若,则必收敛. (D) 若,则必发散. 答案： (D). (6)设曲线(具有一阶连续偏导数),过第Ⅱ象限内的点和第Ⅳ象限内的点,为上从点到点的一段弧,则下列积分小于零的是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (B). (7)设向量组线性无关,则下列向量组线性相关的是( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (A). (8)设矩阵,,则与( ) (A) 合同,且相似. (B) 合同,但不相似. (C) 不合同,但相似. (D) 既不合同,也不相似. 答案： (B). (9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (C). (10)设随机变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示的概率密度,则在条件下,的条件概率密度为( ) (A) . (B) . (C) . (D) . 答案： (A). 二、填空题：11～16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11) . 答案： . (12)设为二元可微函数,则 . 答案： . (13)二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 . 答案：非齐次线性微分方程的通解为. (14)设曲面,则 . 答案：. (15)设距阵则的秩为 . 答案： (16)在区间中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于的概率为 . 答案： 三、解答题：17～24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分11分) 求函数在区域上的最大值和最小值. 答案：函数在上的最大值为,最小值为. (18) (本题满分10分) 计算曲面积分 其中为曲面的上侧. 答案： . (19) (本题满分11分) 设函数,在上连续,在内二阶可导且存在相等的最大值,又＝,＝,证明：存在使得 证明：设,由题设存在相等的最大值,设, 使. 若,即与在同一点取得最大值,此时,取,有； 若,不妨设,则,,且在上连续,则由零点定理得存在使得,即； 由题设＝,＝,则,结合,且在上连续,在内二阶可导,应用两次使用罗尔定理知： 存在使得. 在再由罗尔定理,存在使.即. (20) (本题满分10分) 设幂级数在内收敛,其和函数满足. (I) 证明. (II) 求的表达式. 答案： (I) 证明：对,求一阶和二阶导数,得 代入,得. 即 . 于是从而 (II). (21) (本题满分11分) 设线性方程组 与 方程 有公共解,求得值及所有公共解. 答案：当时,,所以方程组的通解为,为任意常数,此即为方程组(1)与(2)的公共解. 当时,,此时方程组有唯一解,此即为方程组(1)与(2)的公共解. (22) (本题满分11分) 设阶实对称矩阵的特征值是的属于的一个特征向量.记,其中为3