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恒等式1 对于正整数n和k,有 (1.23) 证明： 当kn时， =0 当1≤k≤n时，有 (1.24) 证明： (由式(1.23)) (由式(1.14)) 对于正整数n，有 对于正整数n1,有 (1.25) 证明：由式(1.13)知有 将上式两边对x微分得 在上式中，令x=-1有 即恒等式3: 由此可见，可以用对二项式公式微分来导出组合恒等式。 对于正整数n，有 证明：将 的两边对x微分得 将上式两端同乘以x后再对x微分得 令上式中的x=1得恒等式4 (1.26) 证明：只需在式(1.26)中令x=-1， 即得式(1.27)。 对于正整数n2，有 （1.27） 对于正整数n，有 证明：由式(1.13)有 对上式两端从0到1积分得 上式即得恒等式6 对于正整数n,m和p,p≤min｛m,n｝有 证明：由于 又由式(1.13)知 因此有 比较等式两边的系数得恒等式7 恒等式7还可以用组合分析的方法论证： 恒等式7也称Vandermonde恒等式。 用类似的方法证明，有恒等式8对于正整数m,n,有 事实上，这个恒等式是式(1.29)的推论，只需在式(1.29)中，令p=m即得式(1.30)。 又在式(1.30)中，令m=n，又有恒等式9对于任何正整数n,有 (1.30) 对于非负整数p,q,n有 对于非负整数n和k，有 可使用数学归纳法证明 (1.32) 对于所有实数α和非负整数k，有 证明：首先注意，这个恒等式与前面的恒等式有一个很不同的地方，这就是 和 是广义的二项式系数。由于对实数α，在§1.4节已经定义了广义二项式系数的意义，因此Pascal公式对于α是实数和整数k也是成立的。于是反复使用Pascal公式就可以得到(1.34) (1.34) 还有许多其他的有用恒等式，这可以在H.W.Gonld著的《组合恒等式》一书中找到。 通过上面的一些恒等式的证明，我们可以发现，证明恒等式常用的方法有 1数学归纳法。 2利用二项式系数公式，特别是Pascal公式。 3比较级数展开式中的系数(包括二项式定理和以后要讲的母函数法)。 4积分微分法。 5组合分析法。 还有其他的一些常用方法，如有限差分法，级数变换法，多项式的有限Taylor展开法等。 这些方法本书未涉及，有兴趣的读者可参看HWGonld所著的《组合恒等式》一书。
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