非齐次线性微分方程的几种解法.docVIP

编号 学士学位论文 非齐次线性微分方程的几种解法 学生姓名： 布左然汗·肉孜 学 号： 20030101037 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2003-3班 指导教师 阿不里米提.阿布德热衣木 完成日期： 2008 年 04 月 25 日 摘要 我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。 关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关， 目 录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc197093572 摘要 PAGEREF _Toc197093572 \h 1 HYPERLINK \l _Toc197093573 引言 PAGEREF _Toc197093573 \h 3 HYPERLINK \l _Toc197093574 1.阶线性齐次微分方程的一般理论: PAGEREF _Toc197093574 \h 3 HYPERLINK \l _Toc197093575 2.阶线性非齐次微分方程的一般理论: PAGEREF _Toc197093575 \h 6 HYPERLINK \l _Toc197093576 2.1常数变易法 PAGEREF _Toc197093576 \h 7 HYPERLINK \l _Toc197093577 2.2待定系数法: PAGEREF _Toc197093577 \h 9 HYPERLINK \l _Toc197093578 2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 PAGEREF _Toc197093578 \h 9 HYPERLINK \l _Toc197093579 2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 PAGEREF _Toc197093579 \h 12 HYPERLINK \l _Toc197093580 2.3拉普拉斯变换法 PAGEREF _Toc197093580 \h 13 HYPERLINK \l _Toc197093581 总结 PAGEREF _Toc197093581 \h 15 HYPERLINK \l _Toc197093582 参考文选 PAGEREF _Toc197093582 \h 16 HYPERLINK \l _Toc197093583 致 谢 PAGEREF _Toc197093583 \h 17 引言 非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。下面我们主要介绍求特解的方法。 1.阶线性齐次微分方程的一般理论: （1） （2） 定理1：设方程（2）有个线性无关的解，这个线性无关的解称为方程的基本解组。 定理2：方程（2）的基本解组一定存在。方程（2）的基本解组的个数不能超过个。 定理3：阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。 定理4：齐次方程（2）的个解在其定义区间上线性无关的充要条件是在上存在点，使得它们的朗斯基行列式。 目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。下面我们研究几个例子。 例：方程的两个解是 它的通解为 定理5：设是方程（2）的任意个解。是它的朗斯基行列式，则对区间上的任一有（3）上述关系式称为刘维尔(Liouvlle)公式。 我们手上有了这个定理，以后如果我们有二阶线性齐次微分方程的一个特解。我们求了它的另一个解。 对于二阶齐次线性方程 如果已知它的一个非零特解，依刘维尔公式（3），可用积分的方法求出与线性无关的另一个特解，从而可求出它的通解。 设是已知二阶齐次方程一个解，根据公式（3）有 或 为了积分上面这个一阶线性方程，用乘上式两端，整理后可得 由此可得 易见 是已知方程的一个解，即 所对应的解。此外，由于 所以，所求得的解是线性无罐解。从而，可得已知方程的通解 。 （4） 其中和是任意常数。 例2:方程的一个解是 试求其通解。 解：容易看出，已知方程有