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角平分线性质考点专题 考点1：作已知角的角平分线 例1：已知如图8－2，∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC． 作法： 图8－2 练习1：画一画，想一想： 利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？ 练习2：已知：如图8－7，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法） 图8－7 考点2：角平分线定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 例1：如图4－9，已知ΔABC≌ΔABC，AD、AD分别是ΔABC和ΔABC的角平分线． （1）请证明AD＝AD； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗？ 知识点3、角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等，到角两边距离相等的点在角的角平分线上. 例1：已知：如图8－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥A 于F. 求证：DE＝DF． 练习1：已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2． 求证：OB＝OC. 练习2：如图，是的角平分线，，，垂足分别是。连接，交于点。说出与之间有什么关系？证明你的结论。 练习3：如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。 求证：。 知识点4：角平分线的判定 例1：如图，已知PD=PE，求证：OP是角平分线 例2：如图，，于，于，和交于点。 求证：平分。 例3：如图，是上两点，是上两点，且，，试问点是否在的平分线上？ 知识点5：角平分线的综合应用 例1：如图，在中，，平分，于，在上，。求证：。 例2：如图，已知在中，，。求证：平分。 知识点6：三角形角平分线的实际应用 例1：已知：如图8－8，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： （1）可选择的地点有几处？ （2）你能画出塔台的位置吗？ 练习1：已知：如图8－9，四条直线两两相交，相交部分的线段构成正方形ABCD．试问：是否存在到至少三边所在的直线的距离都相等的点？若存在，请找出此点，这样的点有几个？若不存在，请说明理由． 课堂练习： 一、选择题 1．如图9－1，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是 （ ） A．PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC 图9－1 图9－2 2．如图9－2，在RtΔABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则ΔABD的面积是（ ） A． B． C．mn D．2mn 二、填空题 3．已知：如图9－3，在RtΔABC中，∠C＝90°，沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC，使C点恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于_____． 图9－3 图9－4 4．已知：如图9－4，在ΔABC中，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE交于点O，过O作OP⊥BC于P，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，则OP、OM、ON的大小关系为_____． 三、解答题 5．已知：如图9－5，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N. 求证：CM＝CN． 图9－5 6．已知：如图9－10，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由． 图9－10 过关检测： 1、已知：如图9－6，ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F. 求证：一点F必在∠DAE的平分线上． 图9－6 2、已知：如图9－7，A、B、C、D四点在∠MON的边上，AB＝CD，P为∠MON内一点，并且△PAB的面积与△PCD的面积相等． 求证：射线OP是∠MON的平分线． 3、如图9－8，在ΔABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，若△BCD与△BCA