2013年全国高校自主招生数学模拟试卷.doc

WORD格式-精品资料 专业资料分享 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷 命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳 一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 1．已知△ABC，若对任意t∈R， eq \b\bc\|(\o(\s\up6(→),BA)－t\o(\s\up6(→),BC))≥ eq \b\bc\|(\o(\s\up6(→),AC))，则△ABC一定为 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．答案不确定 2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为 A． eq \f(1,2)＜x＜1 B．x＞ eq \f(1,2)且x≠1 C． x＞1 　D． 0＜x＜1 3．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为 A．20 B．25 C．30 D． 4．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝ eq \f(π,2)，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为 A．[ eq \f(1,\r(5))，1) B．[ eq \f(1,5)，2) C．[1， eq \r(2)) D．[ eq \f(1,\r(5))， eq \r(2)) 5．设f(x)＝x3＋log2(x＋ eq \r(x2＋1))，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的 A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数 eq \o(\s\up6(－),2a1a2…a2006)的个数为 A． eq \f(1,2)(102006＋82006) B． eq \f(1,2)(102006－82006) C．102006＋82006 D．102006－82006 二、填空题(本题满分54分，每小题9分) 7. 设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是 ． 8. 若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 9．已知椭圆 eq \f(x2,16)＋ eq \f(y2,4)＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－ eq \r(3)y＋8＋2 eq \r(3)＝0上. 当∠F1PF2取最大值时，比 eq \f(|PF1|,|PF2|)的值为 ． 10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为 eq \f(1,2)cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm3． 11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为 ． 12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） 13. 给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点. 试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x eq \o(\s\do3(0),\s\up4(m))，y eq \o(\s\do3(0),\s\up4(m)))为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点． 14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝ eq \o(\s\do9(1≤i＜j≤5),\s\do2(Σ))xixj．问： ⑴ 当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值； ⑵ 进一步地，对任意1≤i，j≤5有 eq \b\bc\|(xi－xj)≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值. 说明理由． 15．设 f(x)＝x2＋a. 记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…， M＝{a∈R|对所有正整数n， eq \b\bc\|(fn(0))≤2}．证明，M＝[－2， eq \f(1,4)]． 2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四 参考答案 一、选择题(本题满分36分，每小题6分) 答C． 解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D