知识讲解-提高-等差数列及其前n项与.doc

等差数列及其前n项和 编稿：李霞 审稿：张林娟 【学习目标】 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前项和公式，了解等差数列与一次函数的关系； 2. 理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系的联系，能用二次函数的知识解决数列问题. 3. 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题. 【学习策略】 数列是特殊的函数，类比一次函数、二次函数等有关知识，研究等差数列的通项公式及前n项和公式的性质特点。 注意方程思想的应用：等差数列的通项公式和前项和公式中，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程或者方程组，便可求出其余两个量。 【要点梳理】 要点一：等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。 要点诠释： ⑴公差一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即公差）； 符号语言形式 对于数列,若(，,为常数)或(，为常数)，则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差。 要点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关。 等差中项 如果,,成等差数列，那么叫做与的等差中项，即. 要点诠释： ①两个数的等差中项就是两个数的算术平均数。任意两实数a，b的等差中项存在且唯一. ②三个数,,成等差数列的充要条件是. 要点二：等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为： （） 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， ∴， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 ∴归纳得出等差数列的通项公式为：（）。 （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， ∴. (3)迭代法： ∴. 要点诠释： ①通项公式由首项和公差完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等差数列就唯一确定了。 ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量。 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则： 证明：∵， ∴ ∴ 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式可以看成是时的特殊情况。 要点三：等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且,则， 特别地，当时. ②下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列，公差为. ③若数列也为等差数列，则，，（k,b为非零常数）也是等差数列. ④仍是等差数列. ⑤数列（为非零常数）也是等差数列. 要点四：等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式 公式一： 证明：倒序相加法 ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 公式二： 证明：将代入可得： 要点诠释： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一。 ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量。 要点五：等差数列的前项和的有关性质 等差数列中，公差为，则 ①连续项的和依然成等差数列，即,,，…成等差数列，且公差为. = 2 \* GB3 ②若项数为2n，则，， ③若项数为2n-1，则，，，， 要点六：等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于n的一次函数(或常数函数) 等差数列中，，令,则： （,是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。 （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点。 ①当时，一次函数单调增，为递增数列； = 2 \* GB3 ②当＜0时，一次函数单调减，为递减数列。 等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则： （,为常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点。 （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点。 = 1 \* GB3 ①当时有最小值 = 2 \* GB3 ②当时，有最大值 要点诠释： 1.公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数。 2.（,是常数）是数列成等差数列的充要条件。 3.公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数。 4.(其中,为常数)是数列成等差数列的充要条件. 【典型例题】 类型一：有关等差数列的判断、证明 例1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn－1，其中λ为常数． (Ⅰ)证明