不定积分的概念与基本公式教案.docVIP

江阴职业技术学院《高等数学》课堂教学教案 课程名称 高等数学 教师姓名 教 研 室 数理教研室 教学对象 授课时间 2014.11.25 星期二第1 节 教学内容 4.1 不定积分的概念与基本公式 学时数 2 教 材 《高等数学》 教 学 目 的 理解原函数、不定积分的概念 理解不定积分的几何意义、物理意义及经济意义并能应用不定积分解决简单问题 熟练掌握基本积分公式 熟练掌握直接积分法 教 学 内 容 提 要 1.原函数的概念 2.不定积分的概念 3.不定积分的几何意义、物理意义及经济意义 4.基本积分公式 5直接积分法 重 点 与 难 点 重点：不定积分的概念、基本积分公式、直接积分法 难点：不定积分的概念 更新 补充 删节 内容 教学 组织 与 设计 一、新课引入 二、新课讲授 三、举例应用 四、课堂练习 五、课堂小结 六、布置作业 作业 习题4 主任 意见 教学实施 情况小结 §5．1不定积分的概念与基本公式（第一节课） 引入： 教师：请一位同学走到教室门口，然后再倒退着走回来。 教师问：倒过来走是什么感觉，有没有体会到和正常走路不一样？ 学生答：不一样。 教师：相对于正着走，倒过来走是一种逆向过程，就如同数学里：加与减，乘与除互为逆运算一样。那么和我们前面学过的求导数相对的又是什么呢？这就是我们今天要学习的“不定积分”。要学习“不定积分”，需要一点刚才那样“倒着走”的逆向思维。 教师：正因为倒着走不习惯，因此我们先要通过练习来加以巩固，慢慢地寻找感觉。已知导函数要求在括号里填写被求导之前原来的函数。 (1) (9) (2) (10) (3) (11) (4) (12) (5) (13) (6) (14) (7) (15) (8) 被求导之前原来的函数我们给它一个简称：原函数。 一、原函数的概念 1、定义：若在某区间，，则称的一个原函数。 如：是的一个原函数 问：原函数加上一个常数还是原函数吗？ 答：，，……，等也是的原函数。 2、一般地，若有一个原函数，则有无数个原函数。 问：是否能表示的全部原函数？ 答：能，证明如下 设为的任一原函数 即 故 3、定理：若有一个原函数，则表示的所有原函数。 这的所有原函数，我们给它一个名称：不定积分。 二、不定积分的概念 1．定义：若在某区间，则称为的不定积分，记作 ，即。 其中——积分号（写法是拉长的S），——被积函数，——被积表达式，——积分变量，——积分常数。 注1：积分常数不可丢，否则只得到一个原函数，而不定积分表示一个函数的所有原函数。 注2：检验积分做得对不对，只需要看原函数的导数是否等于被积函数。 例1．(1) (2) (3) (4) 例2.验证积分 (1) (2) 2．不定积分与导数、微分的关系 (1)， (2)， 这说明求不定积分与求导、求不定积分与求微分是互为逆运算（除了相差一个积分常数外） 例3求(1) (2) (1) (2) 什么样的函数一定有不定积分？ 3．不定积分存在的充分条件：连续函数一定有不定积分。 自问：除了连续函数，还有其他函数会有不定积分吗？ 自答：其他函数也可能会有不定积分。 三、不定积分的几何意义、物理意义及经济意义 1、几何意义：的图形是一族积分曲线，在横坐标相同的点它们的切线彼此平行。 例4已知某曲线上任一点处切线的斜率为，(1)求该曲线方程;(2)若此曲线过，求该曲线方程。 解：(1)设曲线方程为，则，该曲线方程为。 （2）由，得，所以该曲线方程为。 2、物理意义：若变速直线运动物体速度，则运动方程。 例5 某物体从静止开始作自由落体运动，其速度为，求运动方程。 解：，把代入得，所以。 3、经济意义：边际成本的积分是成本，边际收益的积分是收益，边际利润的积分是利润。 例6 某工厂生产某产品的固定成本是1000元，边际成本是元，求成本。 解：，由知 所以 四、基本积分公式 对照求导公式，边问边答边写： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 课堂小结 1.原函数的概念（被求导之前原来的函数、不唯一、+C表示全部原函数） 2.不定积分的概念（所有原函数、与求导互为逆运算、怎么验证） 3.不定积分的几何意义、物理意义及经济意义（是不定积分运用的落脚点） 4.基本积分公式（利用导数公式逆推，熟练掌握） 布置作业 习题4 P86 1 2 直接积分法 （第二节课） 复习回顾 定义 ————的全体原函数所具有的一般