函数与集合的基数.PDF

第8章函数与集合的基数  函数的定义与性质  函数的复合与反函数  集合等势与优势  集合的基数 1 8.1 函数的定义与性质  函数的定义  函数定义  从A 到B 的函数  函数的像  函数的性质  函数的单射、满射、双射性  构造双射函数 2 函数定义 定义 设F 为二元关系, 若x ∈domF 都存在唯一的 y ∈ranF 使xFy 成立, 则称F 为函数. 对于函数F, 如果 有xFy, 则记作y =F(x), 并称y 为F 在x 的值. 例1 F ={x ,y ,x ,y ,x ,y } 1 1 1 2 2 3 2 F ={x ,y ,x ,y } 2 1 1 1 2 F 是函数, F 不是函数 1 2 3 函数相等 定义 设F, G为函数, 则 F=G  FG∧GF 如果两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件： (1) domF=domG (2) x ∈domF=domG 都有F(x)=G(x) 实例 函数 2 F(x)=(x 1)/(x+1), G(x)=x1 不相等, 因为domFdomG. 4 从A 到B 的函数 定义 设A , B为集合, 如果 f 为函数 domf = A ranf  B, 则称f 为从A 到B 的函数, 记作f ：A →B. 实例 f ：N→N, f (x)=2x 是从N 到N 的函数 g ：N→N, g (x)=2也是从N 到N 的函数 5 B上A 定义 所有从A 到B 的函数的集合记作BA , 读作“B上A ” 符号化表示为 BA ={f | f ：A →B } 计数： |A |=m, |B |=n, 且m, n0, |BA |=nm. A  A=, 则 B =B ={}. A A A≠且B=, 则 B = = . 6 实例 例2 设A = {1,2,3}, B = {a,b}, 求BA . BA = {f 0,f 1, … , f 7}, 其中 f 0={1,a,2,a,3,a} f 1={1,a,2,a,3,b} f 2={1,a,2,b,3,a} f 3={1,a,2,b,3,b} f 4={1,b,2,a,3,a} f 5={1,b,2,a,3,b} f 6={1,b,2,b,3,a} f 7={1,b,2,b,3,b} 7