单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质.pptVIP

1.对于函数与y=-2sin x,当x=______________ 时，y取最大值_____，当x=_____________ 时，y取最小值____. 2 -2 2.求下列函数的值域: 了解周期函数的定义. 知道正弦函数、余弦函数都是周期函数，并知道它的最小正周期为 2π. 理解正弦函数、余弦函数的基本性质 回顾本节课的收获 不辞艰险出夔门，救国图强一片心；莫谓东方皆落后，亚洲崛起有黄人. ——吴玉章 * * * * * * * * * * * * §4 正弦函数和余弦函数的 定义与诱导公式 4.2 单位圆与周期性 4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 (1,0) O P α M x y 前面我们学习了周期现象，角的一边可以绕角的顶点旋转，得到了终边相同的角，如图所示，今天我们学习正弦函数、余弦函数的周期性及性质. 0 1 0 -1 0 1 0 -1 0 1 在直角坐标系的单位圆中，画出下列各特殊角，求各个角终边与单位圆的交点坐标，并将各特殊角的正弦函数值、余弦函数值填入下表 观察此表格中的数据,你能发现函数y=sinx和y=cosx的变化有什么特点吗？ 观察右图，在单位圆中，由任意角 的正弦函数、余弦函数定义不难得到下 列事实：终边相同的角的正弦函数值相 等，即 ； 终边相同的角的余弦函数值相等， 即 . 探究点1 周期函数 把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数. 正弦函数、余弦函数是周期函数，称 为正弦函数、余弦函数的周期. 例如， 等都是它们的周期.其中 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期. 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x值，都有 f(x+T)=f(x), 我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期. 说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. 特别提醒： 1.T是非零常数. 2.任意x∈D都有x+T∈D,T≠0，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件. 3.任取x∈D，就是取遍D 中的每一个x，可见周期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，要抓住每一个x都满足f(x+T)=f(x)成立才行. 4.周期也可推进，若T是f(x)的周期，那么2T也是y=f(x)的周期. 1.函数f(x)=c(c为常数) , x∈R，问函数f(x) 是不是周期函数，若是，有无最小正周期. 答:是，无最小正周期. 2.等式sin(30°+120°)=sin30°是否成立？如果成立，能否说明120°是正弦函数y=sinx,x∈R的一个周期？为什么？ 答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x. 思考 例 求下列三角函数值： （1） （2） 解：（1） 练习 求下列三角函数值 （2） 探究点2：正弦函数 y=sin x、余弦函数y=cos x 的基本性质： 由上节点学习知道： 定义域为全体实数R （1）定义域 (1,0) O P(cos x,sin x) x M x y （2）值域、最大（小）值 观察下图 ，设任意角x的终边与单位圆交于点P(cos x,sin x)， 当自变量x变化时，点P的横坐标是cos x，|cos x|≤1，纵坐标是sin x,|sin x| ≤1 这说明，正弦函数 、余弦函数的值域为[-1,1] (4)单调性 观察右图 ，在单位圆中，设任 意角x的终边与单位圆交于点 P(cos x,sin x)， 因此，正弦函数在区间 上是增加的，在区 间 上是减少的. 思考：在单位圆中余弦函数的单调性又是如何呢？ 1 －1 2kπ 1 (2k＋1)π －1 [2kπ－π,2kπ] (k∈Z)上是增加的 [2kπ,2kπ＋π] (k∈Z)上是减少的 2kπ 2π 例1.写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么. 解：(1)因为y=cos x+1，x∈R的最大值、最小值由 y=cosx决定，所以使函数 取得最大 值的 的集合为 使函数 取得最小值的 的集合为 最大值为 最小值为 所以使函数