换元积分法(第二类换元法).docVIP

PAGE 1 PAGE 1 §4.2 换元积分法 §4.2 换元积分法（第二类） Ⅰ 授课题目（章节）： §4.2 换元积分法 （第二类换元积分法） Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解第二类换元法的基本思想 2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 Ⅳ 讲授内容： 第一类换元积分法的思想是：在求积分时? 如果函数g(x)可以化为的形式? 那么 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。 第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换将无理函数的积分化为有理式的积分。即 若上面的等式右端的被积函数有原函数，则,然后再把中的还原成，所以需要一开始的变量代换有反函数。 定理2 设是单调、可导的函数，且，又设有原函数，则 分析 要证明，只要证明的导数为， ， 证明 单调、可导，存在反函数，且 是是一个原函数. 第二换元法，常用于如下基本类型 类型1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则，，可将原积分化作三角有理函数的积分. 例1 求 解 令 ，，则 . 借助下面的辅助三角形把，用表示. 例2 求 解 令，，则， 类型2：被积函数中含有可令 并约定，则； ；可将原积分化为三角有理函数的积分. 例3 求 解 令，，则， . 例4 求 解 令，，则， 例5求 （分母是二次质因式的平方） 解 令，则， 练习： 求（第二换元积分法分） 解 ，令 则 类型3 被积分函数中含有 ，当时，可令，并约定，则，，当时，可令，则，可将原积分化为三角有理函数的积分。 例6 求 解 被积函数的定义域为， 当时，令，， 则，有 . 当时，令，则有 时， 例7 求 解 时，令,则,，有 ， 时，令，则有 无论或均有 注意：(1)以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分 (2)在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为的函数时，常常用到同角三角函数的关系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形” (3)在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁. 例8 求 解法一（用第一换元法） 时， 时，令则 两式合并 解法二 （第二换元法） （1）当时，,则, . （2）当时，令 由(1)(2)两种情况可得 Ⅴ 归纳总结 1、第二类换元积分法的思想 若中的被积函数为无理函数，可以选择适当的变量代换，将无理函数的积分化为有理式的积分. 2、第二类换元积分法适用的被积函数类型 类型1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则；可将原积分化作三角有理函数的积分. 类型2：被积函数中含有可令 并约定，则； ；可将原积分化为三角有理函数的积分. 类型3 被积分函数中含有 ，当时，可令，并约定，则，，当时，可令，则，可将原积分化为三角有理函数的积分。 Ⅵ 课堂练习：P208习题4-2 2（37） Ⅶ 课外作业：P208 习题4-2 2（36）（37）（38）（40）（42）