柯西中值定理的几何解释.pdfVIP

维普资讯 VO1．1l，No．5 高等数学研究 STUDIESIN C0LLEGEMATHEM ATICS 31 Sep．，2008 柯西中值定理的几何解释一 王树勋 叶正麟 。 (1．陕西理工学院数学系 陕西汉 中 723001； 2．西北工业大学理学院 西安 710072) 摘 要 利用向量函数和行列式的概念．简洁地给出了柯西中值定理的几何意义 关键词 中值定理}几何意义 ；向量函数 ；有向面积 中图分类号 O172．1 一 元微分学中著名的柯西(Cauchy)中值定理，可 以表述为如下形式： 定理 设二维 向量函数r(￡)一 ((￡)，(￡))在闭区间[n， _上i连续，在开区间(口，6)内可导， 则在 (口，6)内至少存在一点 ，使 l(n) (6) ()I Il(口) (6) (9I=0 (1) 1 1 0I 其证 明只需考虑如下的辅助函数 l(口) (6) (￡)I s(￡)=Il5fI(口)5f，(6) (￡)I，口≤￡≤b (2) 1 1 1l 显然S(￡)在[口，6]上连续 ，在开区间(口，6)内可导，且S(n)一s(6)一0，故由罗尔定理知，至少 存在一点 {∈ (口，6)，使得 S ()=0．而 I(口) (6) ()I s(￡)一Il妒(口) (6) (￡)l 1 1 0I 将 代人即得证． 对此定理作如下几何说明： 1．二维向量函数r()的图形是一条平面曲线，由参数方程：Jl ：’。≤≤6所定义，称为 Y = ()， 平面参数曲线．其起点为r(n)，终点为 r(6)．它可以是 “大挠度”曲线 ，乃至为闭曲线 ，与平行于 轴 的直线可以有不止一个交点，由定理的条件 ，这是连续曲线 ，在每个 内点处有切 向量 r(￡)． 2．利用三阶行列式的性质 ，(1)式可改写为 I(6)二一(口) ()l一。。 ㈣～ r(b 毛) 此式表明二阶行列式 中的二阶列向量 r(b)一r(口)= (p(6) 一 r(f) (口)，(6)一 (口))与r()一 ( (e)。 ())线性相关 ， 即平行．前者是平面参数 曲线 r()两端点连成的弦向量，后 者是在点r(O处的曲线的切向量．定理 的几何意义是 ：对于 内点处处有切向量的平面连续参数曲线段，必有某 内点处的 图 1 柯西中值定理的几何意义 ·收稿 日期t2007— 12—07 ** 基金项 目：陕西省教育厅专项科研计划项 目(No．07JK2O9)；陕西理工学院科研基金项 目(No．SLG0517) 维普资讯 32 高等数学研究 Vo1．1l，No．5