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数学物理方法 格林函数法 格林函数法 格林函数的一般概念 稳定问题的基本解 稳定问题的格林函数 演化问题的基本解 演化问题的格林函数 本章小结 格林函数的一般概念 概念 定义：纯点源产生的场 （不计初始条件和边界条件的影响）。 例子： ΔG = δ(r-r’)，G|Γ=0 (?t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’)， G|Γ= G|t=0=0 一般形式 L G(xi) = δ(xi-xi’) G|边界= G|初始=0 格林函数的一般概念 分类： 按泛定方程可以分为： 稳定问题的格林函数 L = Δ 热传导问题的格林函数 L = (?t – a2Δ) 波动问题的格林函数 L = (?tt – a2Δ) 按边界条件可以分为 无界空间的格林函数，又称为基本解； 齐次边界条件的格林函数。 格林函数的一般概念 格林函数的一般概念 性质： 设数学物理方程为 L u(x) = f (x) 而格林函数方程为 L G(x) =δ(x-x’) 在相同的齐次定解条件下 因为： f(x) =∫f (x’)δ(x-x’) dx’ 所以： u(x) =∫f (x’) G(x-x’) dx’ 应用（求解数学物理方程的格林函数法） 范围：非齐次泛定方程、齐次定解条件 程序：先求出对应的格林函数，再积分得待求函数 稳定问题的基本解 稳定问题的格林函数 原问题 稳定问题的格林函数 求解方法 稳定问题的格林函数也可以利用静电场类比法得到。 点源问题可以看成接地的导体边界内在 r’ 处有一个电量为 - ε0 的点电荷。 边界内部的电场由点电荷与导体中的感应电荷共同产生。 在一些情况下，导体中所有感应电荷的作用可以用一个设想的等效电荷来代替，该等效电荷称为点电荷的电像。 这种方法称为电像法 稳定问题的格林函数 例题 在半空间内求解稳定问题的格林函数 稳定问题的格林函数 演化问题的基本解 演化问题的基本解 演化问题的基本解 演化问题的格林函数 本章小结 格林函数问题有两个要素 泛定方程的非齐次项为(瞬时)点源 定解条件为齐次的 一般的场源可以分解为(瞬时)点源的叠加 非齐次泛定方程、齐次定解条件问题可以由格林函数叠加得到 经过适当的推广，非齐次定解条件问题也可以用格林函数方法来求解 * * 波动方程的格林函数 热传导方程的格林函数 泊松方程的格林函数 齐次边界 G|Γ= 0 波动方程的基本解 热传导方程的基本解 泊松方程的基本解 无界空间 波动问题 (?tt – a2Δ) G =δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 Gt|t=0=0 输运问题 (?t – a2Δ) G = δ(r-r’)δ(t-t’) G|t=0=0 稳定问题 ΔG = δ(r-r’) 格林函数 解 方程 点电荷电场 点源问题 原问题 稳定问题的基本解可以利用静电场类比法得到 点源问题 关系 基本思路 解：根据题目，定解问题为 这相当于在接地导体平面上方点 M(x’,y’,z’) 处放置一个电量为 - ?0 的点电荷，求电势。 设想在M的对称点 N (x’,y’,-z’)处放置一个电量为 + ε0 的点电荷，容易看出在平面 z=0上电势为零，这表明在N点的点电荷就是电像。 根据点电荷的电势公式，我们不难得到格林函数 波动 输运 基本解 等价问题 问题 演化问题的基本解可以利用冲量定理法得到 无界输运问题的求解 无界波动问题的求解 波动 输运 基本解 等价问题 问题 演化问题的格林函数也可以用冲量定理法得到