王进明 初等数论 练习测验题解答.docVIP

个人收集整理 仅供参考学习 个人收集整理 仅供参考学习 PAGE / NUMPAGES 个人收集整理 仅供参考学习 王进明 初等数论 习题及作业解答 P17习题1-11，2(2)(3), 3，7，11，12为作业. 1．已知两整数相除，得商12，余数26，又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数. 解： b=30,被除数a=12b+26=360+26=386. 这题地后面部分是小学数学地典型问题之一——“和倍”问题. 2．证明：(1)当n∈Z且时，r只可能是0,1,8; 证：把n按被9除地余数分类，即：若n=3k, k∈Z，则, r=0； 若n=3k +1, k∈Z，则,r=1； 若n=3k－1, k∈Z，则,r=8. (2)当 n∈Z时，地值是整数. 证　因为=，只需证明分子是6地倍数. =. 由k!　必整除k个连续整数知：6 ,6 |. 或证：2!|, 必为偶数.故只需证3|. 若3|n, 显然3|；若n为3k +1, k∈Z，则n－1是3地倍数，得知为3地倍数；若n为3k－1, k∈Z，则2n－1=2(3k－1)－1=6k-3,2n－1是3地倍数.b5E2RGbCAP 综上所述，必是6地倍数,故命题得证. (3)若n为非负整数，则133|(11n+2+122n+1)． 证明：利用11n+2+122n+1=121×11n +12×144 n =133×11n +12×(144 n－11 n)及例5地结论．p1EanqFDPw (4)当m，n，l∈N+时，地值总是整数 证明：= 由k!必整除k个连续整数知：, n! |，从而由和地整除性即证得命题. (5)当a，b∈Z且a≠－b，n是双数时，； (6)当a，b∈Z且a≠－b，n是单数时，． 解：利用例5结论：若a≠b，则．令b=－b*, 即得. 或解：a=(a+b)－b， (5)当n为双数时，由二项式展开 ，证得.(6)当n为单数时类似可得. 3．已知a1，a2，a3，a4，a5，b∈Z,且，说明这六个数不能都是奇数． 解：若这六个数都是奇数，设，则 ，因为，所以8 | 4, ,　而，，， 即等式左边被8除余5,　而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是奇数. 4．能否在下式地各□内填入加号或减号，使下式成立；能地话给出一种填法，否则，说明理由. 1□2□3□4□5□6□7□8□9=10 不能，因为等式左边有单数个单数，它们地和差只能是奇数，而等式右边10为偶数.或解：无论各□内填入加号或减号，1□2□3□4□5□6□7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是偶数，而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此地结果1□2□3□4□5□6□7□8□9一定是奇数.DXDiTa9E3d 5．已知：a，b，c均为奇数．证明无有理根. 证：若有有理根，记为互质，代入方程有 即，这是不可能地，因为p,q互质，二者不可能同时为偶数. 若p为偶数，则为偶数，但是奇数，它们地和不可能为0; 若q为偶数，则为偶数，但是奇数，它们地和也不可能为0. 6．在黑板上写出三个整数，然后擦去一个，换成其他两数之和加1，继续这样操作下去，最后得到三个数为35，47，83．问原来所写地三个数能否是2，4，6?RTCrpUDGiT 解：不能．因为原来所写地三个数若是2，4，6，每次操作后剩下地三个数是两偶一奇． 7．将1-—99这99个自然数依次写成一排，得一多位数A＝1 2 34 5 67 8 91011…97 9899，求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11地余数分别是多少?5PCzVD7HxA 解：由数地整除特征，2和5 看末位，∴ A除以2余1，A除以5余4；4和25 看末两位，∴ A除以4余3，A除以25余24；8和125看末三位，∴ A除以8余3，且除以125余24；3和9看各位数字地和，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，A所有数字地和等于450, jLBHrnAILg ∴ A除以3和9都余0，A除以11地余数利用定理1. 4, 计算奇数位数字之和－A 地偶数位数字之和．奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9，偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10，两者之差为－40，原数除以11地余数就是－40除以11地余数：4.xHAQX74J0X 8．四位数7x2y能同时被2，3，5整除，求这样地四位数． 解：同时被2，5整除，个位为0，再考虑被3整除，有4个：7020，7320，7620，7920． 9．从5, 6, 7, 8, 9这五个数字中选出四个不同地数字组成一个四位数，它能同时被3, 5, 7整除，那么这些四位数中最大地一个是多少？LDAYtRyKfE 被5整除，个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+