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人 石口 人 人
口 刘 维江
广义积分敛散性判别法的应用
本文讨论 的广义积分指 无穷积分与瑕积分 , 即函数在无穷
区 间上 的积分与无界 函数 的积分 。 它 们是借助于可变上 或下 限
。
的黎 曼积分 的极 限来定义 的 要 判别它们 的敛散性 , 可考虑 函数在
其任一 内闭子 区间上 的黎 曼可积性 , 借助积分性质 以及积分方法
、
换元法 分部积分法等直接计算 , 对于被积 函数是单调 函数或含有
周 期 函数 因子 的无穷积分 , 可利用 广 义积分与级数 的关系讨论其
。
收敛性 , 即转化 为级数 的敛散性 问题 但是在大多数 的情况下 都
、
是通 过使用判别方法 准则来确定 , 如柯西收敛准则 , 绝对 收敛 的
比较判别法 、 柯西判别法 、 积分判别法 以及条件收敛 的阿 贝尔判别
。
法 , 狄利克雷判别法等来判别确 定广义积分 的敛散性
现就 常用 的柯西判别法 的极 限形式判别广义积分 的敛散性作
一些探讨 , 并予 以推广 。
一 、 对判别法 的应用
为行文方便起见 , 给 出柯西判别法 的极 限形式如下
一 · · , , ·
定理 , 对 于无穷积 分 犷 一 设 。 十 一
仃, , 且 一 入 镇 镇
, , 一 · ·
、
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若 、 贝。 “ 收敛
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