立体几何及解题技巧以及空间距离专题复习.doc

实用标准 文档 知识点整理 (一)平行与垂直的判断 (1)平行：设的法向量分别为，则直线的方向向量分别为，平面 线线平行∥∥；线面平行∥； 面面平行∥∥ (2)垂直：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 线线垂直⊥⊥；线面垂直⊥∥； 面面垂直⊥⊥ (二)夹角与距离的计算 注意：以下公式可以可以在非正交基底下用，也可以在正交基底下用坐标运算 (1)夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两直线,所成的角为(),； ②直线与平面所成的角为(),； ③二面角─l ─的大小为(), (2)空间距离 点、直线、平面间的距离有种.点到平面的距离是重点,两异面直线间的距离是难, 点到平面的距离:(定理)如图，设是是平面的法向量，AP是平面的一条斜线，其中则点P到平面的距离 (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) 异面直线间的距离: (的公垂向量为,分别是上任一点). AB A B C D ? ? l 例1．如图，已知二面角?-l -?的大小为1200，点A??，B??，AC?l 于点C，BD?l 于点D，且AC=CD=DB=1. 求：（1）A、B两点间的距离； （2）求异面直线AB和CD的所成的角 （3）AB与CD的距离. 解：设则 （1）， ? A、B两点间的距离为2. （2）异面直线AB和CD的所成的角为600 （3）设与AB、CD都垂直的非零向量为， 由得①； 由得②， 令x=1，则由①、②可得z=-1，?，由法则四可知，AB与CD的距离为 . 小结：任何非正交基底下的证明、计算都先设基底，并将条件也用基底表示，特别证明线面平行时，如AB//平面PEF 可以将有基底表示，， 也用基底表示，最后用待定系数法，将λ和μ求出。 例2。如图，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1。另一个侧面ABC是正三角形. （1）求证：AD⊥BC； （2）求二面角B—AC—D的大小； （3）在段线AC上是否存在一点E,使ED与面BCD 成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存 在，说明理由. 20．解法一： （1）方法一：作AH⊥面BCD于H连DH. AB⊥BDHB⊥BD，∵AD=，BD=1 ∴AB==BC=AC ∴BD⊥DC 又BD=CD，则BHCD是正方形， 则DH⊥BC. ∴AD⊥BC， 方法二：取BC的中点O，连AO、DO， 则有AO⊥BC，DO⊥BC. ∴BC⊥面AOD，∴BC⊥AD （2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N， 则∠BMN就是二面角B—AC—D的平面角. ∵AB=AC=BC=，∴M是AC的中点，且MN//CD. 则BM= 由余弦定理得. （3）设E为所求的点，作EF⊥CH于F，连FD，则EF//AH， ∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED与面BCD所成的角，则∠EDF=30°， 设EF=x，易得AH=HC=1，则CF=x，FD=. 故线段AC上存在E点，且CE=1时，ED与面BCD成30°角. 解法二： （1）作AH⊥面BCD于H，连BH、CH、DH，则四边形BHCD是正方形，且AH=1， 以D为原点，以DB为x轴，DC为y轴建立空间直角坐标系如图， 则B（1，0，0），C（0，1，0），A（1，1，1）. （2）设平面ABC的法向量为=， 同理，可求得平面ACD的一个法向量为. 由图可以看出，二面角B—AC—D的大小应等于 =，即所求二面角的大小是 （3）设E（x，y，z）是线段AC上一点，则 平面BCD的一个法向量为 要使ED与面BCD成30°角，由图可知的夹角为60°， 题型二、利用坐标系或几何法解决距离、角度及其证明问题 例3、如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求： （Ⅰ）直线到平面的距离； （Ⅱ）二面角的平面角的正切值． 解法一: （Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离 在中， 由平面，得AD，从而在中， 。即直线到平面的距离为。 （Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ，所以，为二面角的平面角，记为. 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为. 解法二: （Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则 A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥， 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上. ,故有 ② 联立①,②解得, . 为直线AB到面的距