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高数总复习(上)
一、求极限的方法：
1、利用运算法则与基本初等函数的极限；
①、定理 若, 则
(加减运算)
(乘法运算)
(除法运算)
推论1: (为正整数)
推论2:
②结论1:
结论2: 是基本初等函数，其定义区间为D，若，则
2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；
①定义1: 若或（）
则称是当 (或)时的无穷小.
定义2: 是自变量在同一变化过程中的无穷小:
若, 则称与是等价无穷小, 记为.
②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.
性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
定理2(等价无穷小替换定理) 设,
且存在, 则
.
(因式替换原则)
常用等价无穷小:
3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；
①准则I(夹逼准则)若数列(n=1,2,…)满足下列条件:
(1);
(2),
则数列的极限存在, 且.
②准则II: 单调有界数列必有极限.
4、利用两个重要极限。
5、利用洛必达法则。
未定式为类型.
①定理(时的型): 设
(1);
(2) 在某内, 及都存在且;
二、求导数和微分 ：
1.定义
①导数：函数在处的导数：
函数在区间I上的导函数：
②函数的微分：
2.导数运算法则（须记住P140导数公式）
函数和差积商求导法则：函数、可导，则：
②反函数求导法则：若的导数存在且，
则反函数的导数也存在且为
③复合函数求导法则(链式法则)：可导，可导，
则可导，且
④隐函数求导法则:
⑤参数方程求导法则:
若则.
3.微分运算法则
三、求积分：
1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。
性质1：
性质2：
性质3：
性质4： (去绝对值, 分段函数积分)
性质5：
2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；
①第一换元法(凑微分)：
②第二换元法：
③分部积分法：
分部化简
分部化简 ;
循环解出;
递推公式
④有理函数积分：
混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数
⑤牛顿莱布尼茨公式：
⑥定积分换元法：
（换元换限，配元(凑微)不换限）
⑦定积分分部积分法：
⑧结论(偶倍奇零)：
① 若函数为偶函数，则。
②若函数为奇函数，则
注意:
1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；
2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如)
⑨ 变限积分求导
四、微分和积分的应用
判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形
判断单调性：
第一步：找使 的点和不可导点。
第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负，函数递增，
函数递减。
判断凹凸性：
第一步：找使的点和不可导点。
第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论的正负， ，是凹区间，，是凸区间。（拐点：左右两边的符号相反）
判断函数极值：
第一步：找使 的点和不可导点。
第二步：判断这些点两边的正负，若左正右负极大值点
左负右正极小值点。
2.1 定积分的几何应用求面积，体积和弧长
y=
y=f上(x)
y=f下(x)
O
x
y
a
b
所求图形的面积为：
y y?dy
y
y?dy
d
O
x
y
c
y
所求图形的面积为：
旋转体：由连续曲线 y=f (x)、直线 x=a 、x=b 及 x 轴所围成的曲边梯
形绕 x轴旋转一周而成的立体。
Oxba
O
x
b
a
y
y
旋转体：由连续曲线 、
直线 y=c 、y=d 及 y轴所围曲边梯
形绕 y轴旋转一周而成的立体
2.3 定积分的物理应用
变力沿直线做功；水(侧)压力；引力
思路: 建立坐标系，选取积分变量(如x)，在[x, x+dx]上给出微元
第六 空间解析几何
向量在坐标轴上的投影分别为：；在坐标轴上的分量分别为：。
，
2. 利用坐标作向量的线性运算
，
，
数量积(数):
向量积(向量)
，，且 ，构成右手系，
(几何意义: 平行四边形的面积)
3．向量之间的关系
4．平面图形及其方程
平面的法向量：和平面垂直的非零向量。
①点法式方程：
设平面过点法向量(其
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