第二章 导数与微分习题汇总.docVIP

第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y＝f(x)在x0的某邻域（x0－δ，x0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x在点x0处有改变量Δx时，相应地，函数有改变量．若时，极限存在，则称函数y＝f(x)在x＝x0处可导，称此极限值为f(x)在点x0 处的导数，记为 或或或或 时，改变量比值的极限称f(x)在x0处的右导数，记为。 时，改变量比值的极限称f(x)在x0处的左导数，记为。 2．导数的意义 导数的几何意义：是曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数是瞬时速度v(t0) 。以此类推，速度对时间的导数是瞬时加速度a(t0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数在点x0处可导，则函数在点x0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则 定理2（积的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，则 定理3（商的求导法则）若u(x)和v(x)都在点x处可导，且v(x)≠0，则 定理4 若函数在点x处可导，且在其相应点u处可导，则复合函数在x处可导，且 　或　 5．基本初等函数求导公式 本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数，整理所下： 这些基本导数公式必须熟记，与各种求导法则、求导方法配合，可求初等函数的导数。 6．微分的概念 设函数在点x处可导，则称函数在x点的导数与自变量增量Δx的乘积为函数在x处的微分，记为 若，则Δx＝dx，即自变量的微分等于自变量的改变量，因此函数的微分可记为 由可知，先计算函数的导数，再乘以dx或Δx，就得到函数的微分dy。 7．微分的计算 由可知，微分的计算归结为导数的计算。由初等函数导数的计算公式、法则和方法，可以直接得到微分基本公式和运算法则： 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 微分的运算法则如下： 四则运算法则：当u、v可微时， d(u±v)＝du±dv d(uv)＝vdu＋udv d(Cu)＝Cdu ，(v≠0) 复合函数的微分法则： 设函数y＝f(x)可微，当x是自变量时，；当x是中间变量x＝g(t)时，复合函数y＝f[g(t)]的微分为。 就是说，不论x是中间变量还是自变量，函数y＝f(x)的微分都可以表示为。由于表达形式一致，称之为一阶微分的形式不变性。 8．微分的简单应用 由微分的定义可知，当很小时，可以用函数的微分代替函数改变量，误差仅为的高阶无穷小，即 　　　由，得到近似公式 记x＝x0＋Δx，近似公式可以写为 若取x0＝0，则得到当| x |很小时，的近似公式 微分还可以用来估计误差。若，测量时产生的绝对误差为，当很小时，函数的绝对误差、相对误差分别计算为 ， 【习题解答】 2-1 求下列函数的导数。 （1） ； （2） ； （3） ； （4） y＝(x2＋3)tanx； （5） ； （6） ； （7） ； （8） y＝secxtanx＋cscxcotx； （9） ； （10） 。 解 （1） （2） （3） （4） y＝2xtanx + (x2＋3)sec2x （5） （6） （7） （8） y = secxtan2x + sec3x - cscxcot2x - csc3x （9） （10） 2-2 设f(x)＝cosxsinx，求、。 解 f (x) = - sinxsinx + cosxcosx = cos2x = 1 = -1 2-3 设，求、。 解 = 1 = 5 /9 2-4 求曲线y＝4x2＋4x－3在点(1，5)处的切线和法线方程。 解 y = 8x + 4 k = 12