导数专题(三)零点问题教师版.docVIP

导数专题（三）——零点问题 （2013昌平二模理）（18）（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数 （Ⅰ）若求在处的切线方程； （Ⅱ）求在区间上的最小值； （III）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围. （18）（本小题满分13分） 解：（I） 在处的切线方程为………………………..3分 （Ⅱ）由 由及定义域为，令 ①若在上，，在上单调递增， 因此,在区间的最小值为. ②若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在区间上的最小值为 ③若在上，，在上单调递减， 因此,在区间上的最小值为. 综上，当时，；当时，； 当时，. ……………………………….9分 (III) 由（II）可知当或时，在上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点. 当时，要使在区间上恰有两个零点，则 ∴ 即，此时，. 所以，的取值范围为…………………………………………………………..13分 （2014西城期末理）18．（本小题满分13分）（零点问题） 已知函数，其中是自然对数的底数，. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由. 18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为，， 所以． ……………… 2分 令，得． ……………… 3分 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ ……………… 5分 故的单调减区间为；单调增区间为．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点. ……………… 7分 理由如下： 由，得方程， 显然为此方程的一个实数解. 所以是函数的一个零点. ……………… 9分 当时，方程可化简为. 设函数，则， 令，得． 当变化时，和的变化情况如下： ↘ ↗ 即的单调增区间为；单调减区间为． 所以的最小值. ………………11分 因为 ， 所以， 所以对于任意，， 因此方程无实数解． 所以当时，函数不存在零点. 综上，函数有且仅有一个零点. ………………13分 （2015上学期期末丰台理）18.（本小题共13分）（图像交点、问题转化） 已知函数． （Ⅰ）求函数的极小值； （Ⅱ）如果直线与函数的图象无交点，求的取值范围． 18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为 ， 所以 ． 令，则． 0 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以 当时函数有极小值． ………………6分 （Ⅱ）函数． 当时，， 所以要使与无交点，等价于恒成立． 令，即， 所以 ． = 1 \* GB3 ①当时，，满足与无交点； = 2 \* GB3 ②当时，， 而，， 所以，此时不满足与无交点． = 3 \* GB3 ③当时，令 ， 则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，． 由 得， 即与无交点． 综上所述 当时，与无交点． ……………13分 （2016东城上学期期末理）（19）（本小题共14分）（零点，问题转化） 已知函数． （Ⅰ）当时，试求在处的切线方程； （Ⅱ）当时，试求的单调区间； （Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围． 解：（Ⅰ）当时，，，． 方程为． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………4分 （Ⅱ） ， 　　 ． 当时，对于，恒成立， 　　所以 ?； ? 0. 　　所以 单调增区间为，单调减区间为 ．　　…………………8分 （Ⅲ）若在内有极值，则在内有解． 令 ? ? . 设 , 所以 , 当时，恒成立， 所以单调递减. 又因为，又当时，, 即在上的值域为, 　　所以 当时， 有解. 设，则 ， 所以在单调递减. 因为，, 所以在有唯一解. 所以有： 0 0 极小值 所以 当时，在内有极值且唯一. 当时，当时，恒成立，单调递增，不成立． 综上，的取值范围为． …………………14分 （2015海淀一模理）（18）（本小题满分13分）（问题转化、零点） 已知函数. （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）若（其中），求的取值范围，并说明. （18）（共13分） 解：（Ⅰ）. ………………2分 （ⅰ）当时，，则函数的单