空间向量与其运算.ppt

（365p158页）例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F． （Ⅰ）证明PA//平面EDB； （Ⅱ）证明PB⊥平面EFD． 1．空间共线向量 (1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量为共线向量或平行向量． (2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 . 互相平行或重合 a＝λb 要点梳理 空间向量及其运算 (3)共线向量定理的推论 ①对于空间任一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在 实数t，使OP＝(1－t)OA＋tOB 或 OP＝xOA＋yOB (其中x＋ y＝1)． ②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线， 那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t， 满足关系式 . 其中非零向量 a 叫直线l的方向向量 OP＝OA＋t a 2．空间共面向量 (1)共面向量 把 的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使 . 平行于同一平面 p＝xa＋yb (3)推论 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实 数对x，y，使 ，或对空间任一定点O， 有OP＝ ①，我们称①式为平面ABC 的向量表示式． [思考探究] 向量AB∥平面α与直线AB∥平面α是同一概念吗？ 提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直线平行于平面或在平面内两种情况．因此，在用共面向量定理证明线面平行时，必须说明向量所在的直线不在平面内． 3．空间向量基本定理 (1)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使 . p＝xa＋yb＋zc (2)推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存 在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝ . xOA＋yOB＋zOC 4.空间向量的数量积及运算律 1．空间直角坐标系及有关概念 (1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做 ．x轴，y轴，z轴统称 ．由坐标轴确定的平面叫做 ． 原点 坐标轴 坐标平面 空间直角坐标系、空间向量及其运算 (2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的 ，y叫做点M的 ，z叫做点M的 ． 横坐标 竖坐标 纵坐标 2．空间向量坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a·b＝ . (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3， a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b为非零向量)． a1b1＋a2b2＋a3b3 题型一 空间向量的线性运算 探究1 解 （1）∵P是C1D1的中点， 用已知向量来表示未知向量，一定要结 合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解 向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接 的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末 尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向 量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三 角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立. 空间向量坐标及坐标运算 （365p158页）例1 设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算 2a+3b, 3a-2b, a·b 以及a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ应满足的条件， 使λa+μb与z轴垂直. 解 2a+3b=2×（3，5，-4）+3×（2，1，8） =（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）. 3