概率的运算法则.ppt

第三节　概率的运算法则 三、全概公式与贝叶斯公式 四、小结 一、概率的加法公式 二、条件概率与乘法公式 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 一、概率的加法公式 概率的有限可加性 定理1 推论1 对任一事件A，有 推论2 若A，B为任意两事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB) 定理2 若A，B为任意两事件，则 推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 解 分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球， 则A2与A3互斥. 由加法法则，所求概率为 例1 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个 为黑球,从中一次任取3个，求至少有两个是白 球的概率. 例2 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中任取3个，求其中有废品的概率. 解 用Ai表示取到i个废品, 则 A1，A2，A3互斥 故 另解 考虑到 故 注 该题的两种解法较为典型： 前者是直接对待求事件进行互斥分解，但计算较繁琐；后者是从待求事件的对立事件出发，利用了对立事件概率之和为1的性质，简化了计算. 例3 你的班级中是否有人有相同的生日？ 这一事件的概率有多大？ 解 设A表示n个人组成的班级中有人生日相同. 则基本事件总数为365n ，但A的基本事件数不易确定. 可见 而 的基本事件数为 故 P(A)=1-P( ) ，当 n=30 时，可求出 当 n=50 时，可求出 并设人的生日在一年365天的每一天是等可能的， 二、条件概率与乘法公式 1.条件概率 (1) 取到废品的概率； (2) 已知取到的是不合格品，它是废品的概率. 解 (1) 设A表示“取到废品”，则 (2) 基本事件总数为5， 引例 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括 3件次品与2件废品，任取一件，求 而相应地，P(A)称为无条件概率. 定义 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)， 注 1. 计算P(A|B)时，B的发生导致了新的样本空间. 一般设P(B)0. 2. 可以验证，由此定义出的条件概率仍然满足概率的3条公理，即条件概率也是概率. 例4 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；试写出 解 注 可看出 2.乘法公式 定理3 若 P(A)0，则有 若 P(B)0，则有 即有 例5 袋中有5个球，其中3个红球2个白球，现从袋中不放回地连取两个，已知第一次取得红球，求第二次取得白球的概率. 解 设A表示第一取得红球，B表示第二次取得白球, 则求P(B | A) 方法一 按定义 因为第一次取走了一个红球,袋中只剩下4个球,其中有两个白球,再从中任取一个,取得白球的概率为2/4, 所以 方法二 按乘法法则 由乘法法则 注 条件概率的计算方法： (1) 若问题比较简单，可根据实际意义，直接由定义求P(B|A)； (2) 当问题比较复杂时，可在原样本空间中先求出P(AB)和P(A)，再由乘法公式求出P(B|A). 例6 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8，活到25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个 20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 解 解 设 表示事件“第i次取到黑球”， 例7（传染病模型）已知一罐中盛有m个白球，n个黑球。现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a个，试求接连取球3次，3次均为黑球的概率. 则所求即为 . 可以验证有： 此模型常被用作描述传染病的数学模型. 1. 全概公式 引例 一个仓库中堆放着甲、乙两个车间的相同产品，各占70%和30%，已知甲车间的次品率为1%， 乙车间的次品率为1.2%，现从该仓库任取一件产品，求取到次品的概率. 分析 次品的来源为甲、乙两个车间的产品, 用事件来体现这个分类是关键. 解 设B1={取到甲车间产品}， B2={取到乙车间产品} A={取到次品} 可先将A分解成互斥的两部分: A＝AB1＋AB2 其中，AB1为甲车间次品、 AB2为乙车间次品. 由互斥事件加法公式可得 P(A)=P(AB1∪AB2)=P(AB1)+P(AB2) 再由概率乘法公式可得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2) = 0.7×0.01 + 0.3×0.012 =0.0106 注 1. 求解的关键在于将需要讨论的事件A分解成互斥的甲车间次品