江泽坚,实变函数论答案.pdf

1. 证明： B  A U A B 的充要条件是A  B .   证明：若 B  A U A B ，则A  B A U A B ，故A  B 成立.     反之，若A  B ，则 B  A U A  B  A U B  B ，又x B ，若x A ，则     x  B A U A ，若x A ，则x B A  B A U A .总有x  B A U A .故       B  B  A U A ，从而有 B  A U A B 。 证毕     2. 证明A B A I B c . 证明：x A B ，从而x A,x B ，故x A,x B c ，从而x A B ， 所以A B  A I B c . 另一方面，x A I B c ，必有x A,x B c ，故x A,x B ，从而x A B ， 所以 A I B c  A B . 综合上两个包含式得A B A I B c . 证毕 3. 证明定理 4 中的 （3 ）（4 ），定理 6 （De Morgan 公式）中的第二式和定理9. 证明：定理 4 中的 （3）：若A B （ ），则 I A  I B .         证：若x  I A ，则对任意的 ，有x A ，所以A B （  ）成立  知x A B ，故x  I B ，这说明 I A  I B .    定理 4 中的 （4 ）： U (A U B ) ( U A ) U ( U B ) .    证：若x  U (A U B ) ，则有 ，使 x (A U B ) ( U A ) U ( U B ) .          反过来，若x